무한분산 임계 갈톤 와슨 과정의 작은 편차와 인구 규모

초록

본 논문은 평균 1이면서 무한분산을 갖는 임계 갈톤-와슨 과정에서, 관측 시점 n에 인구 규모가 비정상적으로 작을 경우의 조건부 분포를 분석한다. 느리게 변하는 함수와 파라미터 α∈(0,1]에 기반한 정밀한 비대칭 스케일링 결과를 제시하며, 조상공통조상(MRCA) 거리와 다양한 시간 구간 m에 대한 인구 규모 Z(m)의 극한 분포를 다섯 가지 경우로 구분한다.

상세 분석

이 연구는 평균이 1인 임계 갈톤-와슨 과정(Galton‑Watson process)에서 자식 수의 분포가 무한분산을 갖는 경우, 즉 E ξ=1 이면서 Var ξ=∞ 인 상황을 다룬다. 핵심 가정은 오프스프링 함수 f(s)=s+(1−s)^{1+α}L(1−s) (0≤s≤1)이며, 여기서 α∈(0,1] 이고 L 은 0에 대해 느리게 변하는 함수이다. 이러한 설정 하에서 1−f_n(0) 은 n^{-1/α} 에 비례하고, 살아남은 인구의 전형적인 규모는 (1−f_n(0))^{-1} 임이 알려져 있다(Yaglom‑Slack 정리). 논문은 특히 인구 규모가 (1−f_{φ(n)}(0))^{-1} 보다 작아지는 희귀 사건 H(n,φ(n))={0<(1−f_{φ(n)}(0))Z(n)≤1} 을 조건으로 두고, m 시점의 인구 Z(m) 에 대한 조건부 기대값 E