컴팩트 리군에서 재현 커널 힐베르트 공간과 엔트로피 콜모고로프 수의 비대칭적 추정

초록

본 논문은 컴팩트 리군 (G) 위에 정의된 좌측 불변, 양의 대칭, 트레이스 클래스 적분 연산자에 대응하는 재현 커널 힐베르트 공간 (\mathcal H_K) 를 연구한다. 연산자의 행렬 심볼을 이용해 커널의 연속성·대칭·양정성을 특성화하고, (\mathcal H_K) 를 (C(G)) 로 삽입하는 연산자 (I_K) 의 엔트로피·콜모고로프 수(덮개 수)의 상·하 한계를 비례 관계로 제시한다. 특히 차원 (d) 인 리군에 대해 (\varepsilon\to0^+) 일 때 (\log\frac1\varepsilon) 의 (d+1) 제곱 형태의 비율을 얻으며, 푸리에 계수의 감소 속도에 따라 다른 지수적 거동도 논한다.

상세 분석

논문은 먼저 컴팩트 리군 (G) 의 유니터리 불변 표현 (\widehat G) 를 이용해 (L^2(G)) 의 정규직교 기저를 구성하고, 좌측 불변 연산자 (T) 를 컨볼루션 형태 (Tf=f*\kappa) 로 표현한다. 트레이스 클래스 조건 (T\in S_1) 은 심볼 (\sigma_T(\xi)=\widehat\kappa(\xi)) 가 (\ell^1(\widehat G)) 에 속함을 의미하며, 이는 커널
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