Lie군표현의 특성류와 가중치 다항식의 새로운 계산법

초록

본 논문은 단순 및 환원적 복소 리 대수의 불가약 표현에 대해, 최고 가중치를 변수로 하는 대칭 다항식(특히 멱합)과 그에 대응하는 Chern·Stiefel‑Whitney 클래스의 제한을 다항식 형태로 구하는 체계적 절차를 제시한다. Weyl 문자식과 Fₖ 다항식의 재귀 관계를 이용해 차수 상한을 얻고, SL₂, SL₃, PGL₂ 등 구체적 예를 통해 실제 계산법을 보여준다. 또한, 직교 표현이 스핀군으로 상승 가능한 새로운 기준을 도출한다.

상세 분석

논문은 먼저 g가 복소 환원적 리 대수이고 t가 그 Cartan 부분대수일 때, 임의의 유한 차원 표현 φ의 가중치 멱합 Pₖ(φ)=∑μ m_φ(μ) μ^k 를 정의한다. 이때 P₀는 차원, P₁은 trace(=0)이며, P₂는 Killing 형식에 의해 q²와 동일함을 확인한다. 핵심은 φ가 최고 가중치 λ를 갖는 불가약 표현 φ_λ일 때, Pₖ(φ_λ)를 λ의 다항식으로 표현하는 방법이다. 이를 위해 Weyl 문자식을 J(λ+δ)=J(δ)·X{φ_λ} 형태로 쓰고, 양변에 f:ℂ