무한 차원 힐베르트 공간에서의 확률 보간법

초록

본 논문은 기존의 확률 보간법을 유한 차원에 국한시키던 한계를 넘어, 실함수 공간인 무한 차원 힐베르트 공간에서의 이론적 기반을 구축한다. 트레이스 클래스 공분산을 갖는 가우시안 잡음을 이용해 잘 정의된 SDE와 조건부 브리지를 설계하고, 존재·유일성 및 와서스테인 거리 수렴을 엄밀히 증명한다. PDE 기반 전·후방 문제에 적용한 실험 결과는 기존 방법을 능가하는 성능을 보여, 과학적 모델링에 강력한 생성 도구로서의 가능성을 입증한다.

상세 분석

이 연구는 두 가지 핵심 난관을 해결한다. 첫째, 무한 차원에서는 레벤게 측도가 존재하지 않으므로 확률 밀도와 스코어 함수를 정의할 수 없다는 점이다. 저자들은 트레이스 클래스 공분산을 갖는 가우시안 측도 N(0, C)를 기준 측도로 채택하고, Feldman‑Hajek 정리를 회피하기 위해 시간에 따라 변하는 공분산 대신 고정된 C‑위너 프로세스를 사용한다. 이를 통해 각 시간 t에서의 인터폴런트 분포 μ_t가 서로 절대 연속이 아니더라도, SDE(13)의 드리프트를 φ와 η로 명시적으로 구성함으로써 강한 해의 존재와 유일성을 보장한다.

둘째, 무한 차원 SDE의 정규화 효과가 제한적이어서 드리프트가 비리프시치·비리프시치가 될 위험이 있다. 논문은 조건부 브리지(SDE 13)의 드리프트를
f(t,x₀,x_t)=φ(t,x₀,x_t)+