대칭멱 모듈러 형식의 고차 모멘트와 이진 이차형식 합계

초록

본 논문은 임의의 정수 (d\ge 1)와 (l\ge 1)에 대해, (\SL_2(\mathbb Z)) 위의 가중치 (k) cusp 형식 (f)의 (d)차 대칭멱 끌림 (\Sym^d f)의 정규화된 Fourier 계수 (\lambda_{\Sym^d f}(n))의 (l)제곱 평균 (\sum_{n\le x}\lambda_{\Sym^d f}(n)^l)와, 양정정수 이진 이차형식 (Q)에 대한 (\sum_{Q(n_1,n_2)\le x}\lambda_{\Sym^d f}(Q(n_1,n_2))^l)의 정확한 주된 항과 오차항을 제공한다. 핵심은 (\ell)-adic 가환계 시스템의 분해와 뉴턴‑톤네가 증명한 대칭멱 (L)-함수의 전역적 성질을 이용한 서브컨벡스 추정이다.

상세 분석

논문의 핵심 아이디어는 (\ell)-adic 가환계 시스템 (\rho_f)와 그 대칭멱 (\Sym^d\rho_f)를 텐서 제곱한 뒤, Young 표와 Kostka 수를 이용해 (\Sym^d\rho_f^{\otimes l})를 (\bigoplus_{i=0}^{dl} \Sym^i\rho_f) 로 직접 분해하는 데 있다. 이때 등장하는 Kostka 수 (K_{i,d,l})는 논문 2.4절에서 제시된 다항식 전개 ((1+x+\dots+x^d)^l) 의 계수 차이로 명시적으로 계산된다. 분해식 \