하이퍼볼릭 SPDE를 위한 Milstein 고차 스키마의 최적 수렴 분석

초록

본 논문은 계약성 C₀-반드시 해석적이지 않은 반발성 연산자를 갖는 하이퍼볼릭 반선형 SPDE에 대해 Milstein 유형 시간 스키마를 설계하고, 경로‑균일 강오차에 대해 차수 1(로그 보정 포함)의 최적 수렴률을 증명한다. 지수형 및 유리형 반정밀 스키마 모두에 적용 가능하며, 확률 슈뢰딩거 방정식 등 구체적 모델에 대한 수치 실험으로 이론을 검증한다.

상세 분석

본 연구는 “하이퍼볼릭”이라는 용어를, 생성자가 수축성(contractive)하지만 반드시 해석적(analytic)일 필요는 없는 C₀-반정밀군을 갖는 연산자 A에 대해 정의한다. 이러한 설정은 파동·맥스웰·슈뢰딩거 방정식과 같이 2차 시간 미분을 포함하는 SPDE에 자연스럽게 적용된다. 저자는 (1.1) 형태의 반선형 SPDE
( dU + AU,dt = F(U),dt + G(U),dW )
에 대해, 초기값 ξ∈L^{2αp}(Ω;Y)와 전역 Lipschitz 연속성을 만족하는 비선형항 F, G를 가정한다. 여기서 Y는 X와 A의 α-분수 도메인 D(A^α) 사이에 연속적으로 삽입되는 중간 힐베르트 공간이며, α∈(½,1] 로 선택한다.

Milstein 스키마는 기본적인 Euler‑Maruyama 스키마에 이터레이션된 스토캐스틱 적분을 추가함으로써, Wiener 증분만을 이용하는 경우에 한계가 되는 ½ 차수의 수렴률을 초월한다. 저자는 연산자 R_h가 반정밀군 S(h)를 α 차수로 근사하고, X와 Y 모두에서 수축성을 유지한다는 가정 하에, 다음과 같은 두 종류의 스키마를 정의한다.

1. 지수형 Milstein 스키마: R_h = S(h) 로 두어, 정확히 반정밀군을 사용한다.
2. 유리형 Milstein 스키마: R_h = r(-hA) 형태의 유리함수 r을 이용해, 예를 들어 Crank–Nicolson( (1+hA)^{-1} ) 혹은 Implicit Euler( (I+hA)^{-1} ) 등으로 근사한다.

핵심 정리는 Theorem 1.1 로, 경로‑균일 강오차
( E_h^\infty = \big( \mathbb{E}\big