원통형 영역에서 축대칭 나비에 스토크스 방정식의 전역 정규성 및 와류 추정

초록

본 논문은 반경 R, 높이 2a인 유한 원통 Ω에서 축대칭 나비에‑스토크스 방정식을 연구한다. 측면 경계에서는 (v_r=v_\varphi=\omega_\varphi=0), 상·하 경계에서는 (v_z=\omega_\varphi=v_{\varphi,z}=0)이라는 자연스러운 경계조건을 가정한다. 저자는 (|\omega_r/r|{V})와 (|\omega\varphi/r|_{V})에 대한 전역 에너지 추정식을 도출하고, 이를 통해 초기·외력 데이터에만 의존하는 함수 ϕ(data)로 해의 정규성을 보인다. 또한, 충분히 매끄러운 데이터에 대해 (v\in W^{4,2}), (\nabla p\in W^{2,1,2})까지의 고차 정규성을 얻는다. 비슬립 경계조건에 대해서는 전역 추정이 아직 확보되지 않는다.

상세 분석

논문은 축대칭 흐름을 원통 좌표 ((r,\varphi ,z))로 기술하고, 와류 (\omega=\operatorname{curl}v)의 구성요소를 (\omega_r,\omega_\varphi ,\omega_z)라 정의한다. 경계조건 (1.2)는 기존 레이디셰프스키의 연구와 일치하며, 특히 (\omega_\varphi)가 측면·상·하 경계에서 사라지는 점이 핵심이다. 저자는 먼저 스위블 (u=r v_\varphi)와 수정된 스트림함수 (\psi_1=\psi/r)를 도입해 속도와 와류를 (\Phi=\omega_r/r), (\Gamma=\omega_\varphi/r) 로 표현한다. 식 (1.11)–(1.12)에서 (\Phi,\Gamma)는 확산‑대류‑비선형 항을 포함한 파라볼릭 형태를 갖으며, 경계에서 제로값을 만족한다.

핵심 기술은 다음과 같다. (i) (\psi_1)에 대한 H²–H³ 타원적 추정(섹션 4)으로 (|\Gamma|{V})를 (|\Phi|{V})와 연결한다. (ii) 스위글 (u)에 대한 에너지 추정(섹션 5)으로 (|u|{L^\infty})와 (|u{,r}|{V},|u{,z}|{V})를 데이터에 의해 제한한다. (iii) “차수 감소 불등식”(섹션 6) 즉, (|\Phi|{L^2}\le C(1+|v_\varphi|{L^\infty}^{\delta})(X+1)) 형태의 불등식을 얻어, 비선형 항이 차수 낮은 (\Phi)에 미치는 영향을 억제한다. 여기서 (X(t)=|\Phi|{V}+|\Gamma|_{V})이며, (\delta)는 충분히 작은 양수이다.

비선형 항 (I=\int_{\Omega_t} v_\varphi r,\Phi\Gamma)를 다루기 위해 (\lambda(s)=|v_\varphi|{L^\infty(0,t;L^s)}|v\varphi|_{L^\infty(\Omega\times(0,t))})를 도입하고, 두 경우(λ(s)≥c₀, λ(s)≤c₀)를 각각 Lemma 6.3과 Lemma 3.3을 이용해 제어한다. 결국 (1.31)–(1.49)를 연쇄적으로 적용하면 (X(t)\le \varphi(\text{data}))라는 전역 a priori 추정이 얻어진다.

이 추정은 데이터가 유한하고, 위에서 정의한 상수 (D_i)가 모두 유한할 때 성립한다. 그런 뒤, Stokes 시스템의 혼합 노름 해석을 이용해 (v\in W^{4,2}), (\nabla p\in W^{2,1,2})까지 끌어올린다(정리 1.3). 중요한 점은, 이 과정에서 Liu‑Wang 전개식(1.21)을 사용해 축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축축