수체 위 페르마 4차곡선의 2차점 연구

초록

본 논문은 타원곡선 E₁: y²=x³+4x와 E₂: y²=x³−4x의 순위가 0인 수체 K에 대해, 페르마 4차곡선 F₄: X⁴+Y⁴=Z⁴의 K‑2차점이 유한하고 계산 가능함을 보이며,

상세 분석

논문은 먼저 일반적인 곡선 C에 대한 2차점 집합 Γ₂(C,K)의 무한성 조건을 정리하고, 이를 페르마 4차곡선 F₄에 적용한다. F₄는 ℚ-동형인 모듈라 곡선 X₀(64)와 동형이며, 그 야코비안 J₀(64)은 두 타원곡선 E₁, E₂의 직접곱으로 분해된다(J₀(64)ℚ ≅ E₁×E₂). 따라서 K 위에서 J₀(64)(K)의 순위는 rank E₁(K)+rank E₂(K)와 직접 연결된다. 논문은 “rank E₁(K)=rank E₂(K)=0”이라는 가정을 두어 J₀(64)(K)가 유한함을 확보하고, 이때 Γ₂(F₄,K)의 유한성을 즉시 얻는다.

핵심 기술은 Mordell의 아이디어를 차용한 계산 절차이다. 점 (x,y)∈F₀⁴(K) (Z≠0)에서 t=(1+y²)/(1−y²) 라는 변수를 도입하고, s=2t, u, v를 정의하면  E₁: u²=s³+4s, E₂: v²=s³−4s 이라는 두 타원곡선 방정식이 얻어진다. 여기서 s∈K 혹은 s∉K에 따라 두 경우로 나누어, (i) s∈K이면 u, v가 K-정수형이 되도록 하는 경우를 E₁(K), E₂(K) 혹은 H₃(K) (H₃는 E₁과 동형인 곡선)에서 찾는다. (ii) s∉K이면 s는 K-2차 확장 L=K(s)의 원소가 되며, u, v는 L에서 제곱근 형태로 표현된다. 이때 최소다항식 Q(T)∈K