고비선 순환열의 비선형 복잡도 구조와 정확한 개수

초록

본 논문은 비선형 복잡도가 ⌊3n/4⌋ 이상인 n‑주기 이진 순환열의 구조를 완전히 규명하고, 이러한 순환열의 정확한 개수를 구하는 식을 제시한다. 대표 시퀀스를 정의하고, 최대 간격(d = n‑c) 조건과 비선형 복잡도 관계를 이용해 구조적 특성을 도출한 뒤, 이를 바탕으로 정확한 열거 공식을 얻는다. 또한 기존의 근사 통계 결과와 일치함을 검증한다.

상세 분석

논문은 비선형 복잡도(nlc) 를 “가장 짧은 비선형 피드백 시프트 레지스터(NFSR)의 길이” 로 정의하고, n‑주기 이진 순환열 s∞ₙ 에 대해 nlc(s∞ₙ) ≥ ⌊3n/4⌋ 인 경우를 집중적으로 연구한다. 먼저 기존 연구에서 제시된 B(n,c,d) 집합을 재정의하여, c ≥ ⌊n/2⌋ 인 경우에 d = n‑c 로 설정하면 sₙ 은 자동으로 비주기적(aperiodic) 구조를 갖는다. 여기서 ‘spacing’ d 가 최대인 경우, 즉 d = n‑c 일 때 sₙ 은 대표 시퀀스(R(n,c)) 로 선택될 수 있다. 대표 시퀀스는 모든 순환 시프트 R_k(sₙ) 중 추가된 항(add(sₙ))이 가장 큰 것을 의미한다.

핵심 정리는 Proposition 1 으로, c ≥ ⌈2n‑1/3⌉ 일 때 d = n‑c 인 sₙ 이 대표가 되려면 뒤쪽 부분 s