베르누이 퍼콜레이션에서 초집중과 혼돈의 동등성

초록

본 논문은 초임계 베르누이 퍼콜레이션의 화학적 거리(정규화된 그래프 거리)의 변동성을 연구한다. 최근 Dembin이 제시한 초집중 현상(분산이 선형보다 작음)과, 작은 잡음에 의해 최단경로가 크게 변하는 혼돈 현상 사이에 정확히 동등함을 증명한다. 동적 유효 반경과 격자 동물 이론을 활용해 각 변의 공동영향을 정량화하고, 변동성 상한·하한을 잡음에 대한 경로 겹침과 연결시킨다. 결과적으로 변동성이 $o(n)$이면 잡음에 의해 최단경로가 $o(n)$만큼만 겹치며, 반대도 성립한다는 양방향 관계를 얻는다.

상세 분석

이 연구는 두 가지 핵심 아이디어를 결합한다. 첫째, 화학적 거리 $\tilde D$를 무한 가중치(∞)를 포함하는 베르누이 퍼콜레이션을 첫 번째 통과 퍼콜레이션(FPP) 모델로 해석하고, 이를 $M$‑절단된 유한 가중치 모델 $\tilde T_M$와 정밀히 비교한다. 절단 수준 $M=\lfloor(\log n)^2\rfloor$를 잡아 $\tilde D$와 $\tilde T_M$ 사이의 차이가 $\exp(-M^{3/4})$ 수준으로 지수적으로 작아짐을 보인다. 이는 경로 겹침과 변동성 계산을 $\tilde T_M$에 한정해도 원 모델에 대한 정확한 추정이 가능함을 의미한다.

둘째, 동적 잡음 $t\in