비선형 비선형 시스템을 위한 강인 적응 학습 제어

초록

본 논문은 고상대차수와 비반복 작업을 수행하는 불확실한 비선형 비선형 시스템의 추적 문제를 다룬다. 시간변화 파라미터를 위한 그래디언트 하강 기반 적응법과 측정 불가능 상태를 추정하는 상태 추정기를 결합한 강인 적응 학습 제어(AILC) 스킴을 제안한다. 비선형 입력 구조로 인해 제어 입력이 암시적 함수 형태로 존재함을 전역 암시함수 정리를 이용해 보장하고, 수축 사상 기반 반복 수치 계산법을 제시해 실시간 구현 가능성을 확보한다. 수렴성 분석과 근사 오차에 대한 영향 평가를 수행하고, 시뮬레이션을 통해 제안 방법의 유효성을 검증한다.

상세 분석

이 연구는 기존 ILC와 적응 제어가 각각 affine 시스템에만 적용 가능하다는 한계를 극복하고, 비선형 비선형(non‑affine) 시스템에 직접 적용 가능한 AILC 프레임워크를 구축한다. 핵심은 시스템 모델을 xₖ(t+ρ)=θ(t)ᵀf(Xₖ(t),uₖ(t))+wₖ(t) 형태로 파라미터화하고, θ(t)와 Xₖ(t) 중 측정 불가능한 부분을 상태 추정기와 그래디언트 하강법을 통해 실시간으로 보정한다.
Assumption 1은 입력에 대한 비소멸 기울기 d₀>0을 보장함으로써, 전역 암시함수 정리(Implicit Function Theorem)를 적용해 uₖ(t) 의 존재와 유일성을 증명한다. 그러나 uₖ(t) 는 암시적 함수이므로 직접 계산이 불가능하고, 이를 해결하기 위해 논문은 T(u)=u−λZ(u) (λ>0) 형태의 수축 사상을 정의하고, 고정점 반복을 통해 근사값을 얻는 알고리즘을 제시한다. 수축 상수와 반복 횟수에 대한 이론적 경계가 제공되어, 근사 오차가 추적 오차에 미치는 영향을 정량화한다.
파라미터 적응 법칙은 비용함수 J(θ̂)=‖xₖ(t+ρ)−θ̂ᵀf‖²/(mₖ(t)²) 을 최소화하는 그래디언트 하강 형태이며, 외란에 대한 강인성을 확보하기 위해 사각형(dead‑zone) 함수 aₖ(t)와 투영 연산자 Proj_B(θ,R) 을 도입한다. 이로써 파라미터 추정이 유계 영역을 벗어나지 않으며, 외란이 존재할 때도 추정 오차가 제한된다.
수렴 분석에서는 εₖ(t+ρ) 와 aₖ(t) 의 조합을 이용해 θ̂ₖ 가 실제 θ(t) 에 점근적으로 수렴함을 보이고, 제어 입력 근사 오차 δₖ(t) 가 ‖δₖ‖≤c·ρ·ε (ε은 수축 반복 오차) 형태로 제한됨을 증명한다. 최종적으로, 외란이 없을 경우 eₖ(t)→0, 외란이 유한한 경우 eₖ(t)∈B(0,R(w)) 에 수렴함을 보장한다.
시뮬레이션에서는 2차 고상대차수 시스템과 3차 고상대차수 시스템을 대상으로, 파라미터 변동과 비반복 참조 궤적을 적용하였다. 제안된 AILC는 기존 DDILC와 NN‑기반 ILC에 비해 추적 오차가 현저히 낮고, 수치 구현이 간단함을 확인하였다.