질량 변화를 고려한 확률적 저추력 우주선 궤도 설계

초록

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본 논문은 저추력 궤도 설계 시 질량 감소와 그에 따른 난류 강도 변화를 동시에 모델링한 확률적 공분산 스티어링 방법을 제시한다. 연속·이산 시간 시스템을 선형화·이산화하고, 순차 볼록 프로그래밍(SCP)으로 비선형·이중선형 제약을 완전 볼록화한다. 2‑D·3‑D 지구‑화성 전이 사례에 적용해 질량 변화를 반영하지 않을 경우 발생하는 위험 과소평가를 시정한다.

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상세 분석

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이 연구는 저추력 궤도 최적화에서 흔히 간과되는 두 가지 물리적 현상을 동시에 다룬다. 첫째, 연료 소모에 따라 질량이 감소함에 따라 추력‑가속도 관계가 비선형적으로 변한다. 둘째, 질량이 감소하면 동일한 외부 힘 교란(예: 태양풍, 전자기 교란)의 가속도 효과가 증폭되므로, 난류 강도 γ를 질량의 역수로 스케일링한다. 이러한 두 레벨의 질량 의존성을 공분산 변수 형태로 포함함으로써, 기존의 “질량 고정” 모델보다 실제 엔진 사양(Isp, 최대 추력)과 연계된 제약을 직접 적용할 수 있다.

수학적으로는 연속‑시간 확률 미분 방정식(1)을 기준으로, 평균·공분산을 각각 선형화하고 이산화한다. 평균 궤적은 피드포워드 제어 F_k 로, 공분산은 피드백 이득 K_k 와 상태 공분산 P_k 의 곱으로 표현된다. 여기서 공분산 전파식(19)은 K_k·P_k 형태의 이중선형(bilinear) 구조를 갖는데, 이를 완전 볼록화하기 위해 보조 변수 U_k = K_k P_k 와 Y_k = K_k P_k K_k^T 를 도입한다. Schur 보완을 이용한 LMI(25)는 P_k, U_k, Y_k 사이의 일관성을 보장한다.

제어 입력의 확률적 제한은 (21)에서 제시되듯, 평균 제어량 ‖F_k‖와 공분산에 의한 표준편차(χ²-분포 분위수·λ_max(Y_k)^{1/2})의 합이 최대 추력 u_max 이하가 되도록 변환한다. λ_max(Y_k) 를 상한 τ_k² 로 근사하고, τ_k 를 선형화(27)함으로써 2차원 원뿔 제약(28)으로 변환한다. 이는 기존의 LMI 기반 접근보다 계산 복잡도가 O(N·n_x·n_u) 수준으로 크게 감소한다.

목표 함수는 평균 제어 노력과 제어 공분산의 분위수 기반 비용을 결합한 형태(7)이며, 볼록화 과정에서 Y_k 의 트레이스 항을 작은 가중치 ε_Y 로 정규화한다(29). 또한 선형화 오차를 억제하기 위해 슬랙 변수 ζ_k 에 대한 L1·L2 혼합 페널티(30)를 추가한다.

알고리즘 1은 초기 피드포워드·피드백 궤적을 제공하고, 매 반복마다 선형화·볼록화된 SDP(Problem 3)를 풀어 새로운 변수 집합을 얻는다. 수렴 기준은 평균 상태 오차와 슬랙 변수 변화량이다.

시뮬레이션은 2‑D와 3‑D 지구‑화성 전이 문제에 적용되었다. 초기 질량 5000 kg, 최대 추력 5 N, I_sp = 3000 s 등 현실적인 엔진 파라미터를 사용했으며, 난류 강도 γ = 9×10⁻⁵ kg·km/s³·½ 로 설정했다. N = 40 구간으로 이산화했으며, 초기 궤적은 최소 연료 결정론적 해(CasADi)로 생성했다. 결과는 질량 변화를 포함한 경우와 제외한 경우를 비교했을 때, 최종 질량 분산이 크게 증가하고, 위험 수준(β_u = 0.95) 하에서 요구되는 추력 마진이 약 15 % 정도 더 필요함을 보여준다. 이는 질량 감소가 교란 효과를 증폭시켜, 설계 시 위험을 과소평가하면 실제 운용 시 추력 한계 초과 위험이 존재함을 의미한다.

본 논문의 주요 기여는 (1) 질량‑의존적 추력·교란 모델을 공분산 스티어링 프레임워크에 통합, (2) 공분산 변수 기반 볼록화가 기존 factorized 방식보다 계산 효율성을 크게 향상, (3) 실제 엔진 사양과 연계된 제약을 확률적 안전 한계와 동시에 만족시키는 최적화 절차를 제시한 점이다. 향후 연구는 비가우시안 교란, 다중 행성 연계 궤도, 그리고 실시간 재계획(replanning)과 같은 확장 문제에 적용할 수 있을 것이다.

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