다중 극값 적분: 극한 이론을 위한 새로운 확률적 도구

초록

본 논문은 α‑프레셰 극값 측정으로부터 유도된 곱형 무작위 sup 측정에 기반한 다중 극값 적분을 정의하고, LePage 표현을 이용해 적분가능성, 꼬리 거동, 독립성 등을 체계적으로 분석한다. 또한 기존 정류 모델을 확장한 새로운 정상 과정 모델을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 단일 극값 적분 ( \int_E f(u)M_\alpha(du) ) 의 정의와 α‑프레셰 sup 측정 (M_\alpha) 의 기본 성질을 재정리한다. 여기서 (M_\alpha)는 독립적으로 흩어진 sup 측정으로, 각 집합 (A)에 대해 α‑프레셰 분포를 갖는다. 저자는 이 구조를 k‑차원 곱형 공간 (E^k) 에 확장하여, 대각선 ({u_i=u_j}) 을 제외한 오프‑대각선 영역 (E^{(k)}) 위에 새로운 곱형 sup 측정 (M^{(k)}\alpha) 을 구축한다. 핵심은 (10)식에서 정의된 (M^{(k)}\alpha(A_1\times\cdots\times A_k)=\prod_{i=1}^k M_\alpha(A_i)) 이며, 이를 유한 합집합에 대해 최대 연산으로 확장한다.

정리 2.5와 2.6은 σ‑유한 제어 측정 (\mu) 하에서 (M^{(k)}_\alpha) 의 존재와 LePage 시리즈 표현을 보인다. 구체적으로, 독립적인 포아송 도착 시간 (\Gamma_i)와 i.i.d. (T_i\sim m) (여기서 (m)은 (\mu)와 동등한 확률측정) 를 이용해
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