벡터형 베르누이 자유경계 문제의 블로업 완전 분류

초록

본 논문은 벡터형 베르누이 자유경계 문제의 최소화 해에 대한 블로업 한계들을 완전히 분류한다. 특히, 두 단계 자유경계의 특이점(Sing₂)에서 나타나는 선형 블로업을 행렬의 랭크와 새로운 상수 Λ* 와 연결시키고, Λ*를 변분적 용량 문제로 표현한다. 또한, 제한된 부피 m 을 갖는 박스 D 내에서의 문제를 연구하여 m →|D| 일 때 최소화 해의 정규성 및 수렴성을 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존 연구에서 밝혀진 벡터형 베르누이 자유경계 문제의 기본 성질(리프시츠 연속성, 비퇴화성, 내부 밀도 추정, 주변 경계의 유한 주변 길이 등)을 정리하고, 자유경계의 세 부분인 Reg, Sing₁, Sing₂를 정의한다. 특히 Sing₂는 두 단계 자유경계가 존재하는 영역으로, 이전까지는 블로업 한계가 선형 함수라는 것만 알려졌으며, 어떤 선형 함수가 실제 블로업이 될 수 있는지에 대한 일반적인 기준은 부재했다.

주요 기여는 Theorem 1.4에서 제시된 Λ*(A)의 정확한 표현이다. 행렬 A∈ℝ^{k×d} 의 랭크 n이 1보다 클 경우, Λ*(A)는
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