정다각형에서 탐욕적 온라인 시설 할당의 기대 비용 분석

초록

본 논문은 정다각형의 정점에 배치된 용량 1의 시설에 대해, 고객이 변의 임의 위치에서 순차적으로 도착하는 경우 탐욕적 할당 규칙이 발생시키는 총 이동 거리의 기대값을 정확히 구한다. 상태‑별 가치 함수 V(S)를 정의하고, 도착 변과 위치에 대한 조건부 기대를 이용한 적분 재귀식을 제시한다. 다이헤드랄 대칭성을 이용해 상태 공간을 대칭‑축소하고, 작은 n에서는 결정적 수치 적분, 큰 n에서는 몬테카를로 시뮬레이션으로 기대 비용을 추정한다. 정사각형(n=4) 사례에 대한 폐쇄형 해와 실험 결과가 제시된다.

상세 분석

이 연구는 온라인 시설 할당(Online Facility Assignment, OFA) 문제를 정다각형이라는 특수한 그래프 구조에 적용함으로써, 기존의 최악‑사례 경쟁률 분석과는 달리 평균‑사례 성능을 정량화한다. 핵심은 “상태‑가치 함수” V(S) 를 도입한 점이다. 여기서 S⊆V는 현재 이미 점유된 정점 집합이며, V(S)는 남은 고객이 모두 할당될 때까지 발생하는 총 거리의 기대값이다. 정리 1에 의해 V(S)는 다음과 같은 적분 재귀식을 만족한다.

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