deBruijn 그래프와 사이클 평균을 위한 게임 이론적 접근

초록

본 논문은 정해진 정점 가중치가 주어졌을 때, 두 사람 제로섬 게임을 이용해 deBruijn 그래프의 모든 사이클이 동일한 평균 가중치를 갖도록 하는 간선 가중치 존재성을 증명한다. 최적 전략을 통해 얻은 가중치는 과잉 결정된 선형 방정식 체계와 동일함을 보이며, 값 함수가 이산 포아송 방정식을 만족한다는 흥미로운 연결을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 n-진법으로 길이 d 문자열을 정점으로 하는 deBruijn 그래프 G를 정의하고, 각 정점 m에 실수 가중치 c(m)을 부여한다. 이후 두 명의 플레이어, Paul과 Carol이 번갈아 가며 행동하는 반복 제로섬 게임을 설계한다. 매 턴 t에서 Paul은 현재 정점 m에서 나가는 n개의 간선에 대해 실수 가중치 f(t,(m,m|ℓ))를 할당하되, 그 합이 0이 되도록 제약한다(식 1). 그 후 Carol은 할당된 가중치를 고려해 ℓ를 선택하거나 확률적으로 섞어 다음 정점 m|ℓ로 토큰을 이동한다. Paul은 전체 경로 비용을 최소화하려 하고, Carol은 이를 최대화하려 한다.

동적 프로그래밍 원리를 이용해 값 함수 v(t,m)을 정의하고, 최적 전략 하에서 v는 다음과 같은 재귀식으로 전개된다:
v(t,m)=c(m)+ (1/n)∑{ℓ=0}^{n-1} v(t+1,m|ℓ) (Lemma 1).
이 식은 Paul이 선택한 간선 가중치가 모든 후속 정점에 대해 동일한 비용을 만들도록 조정함을 의미한다. 구체적으로, 최소화 조건과 제약식(1)을 동시에 만족시키는 f는
f(t,(m,m|ℓ)) = (1/n)∑{ℓ’} v(t+1,m|ℓ’) – v(t+1,m|ℓ) (식 6)
으로 얻어진다. 이는 시간 t에 관계없이 동일한 형태를 가지며, t<T−d 구간에서는 시간에 독립적인 상수값이 된다(Lemma 4).

값 함수 v에 대한 명시적 해는 정점 가중치의 평균을 여러 번 평균하는 형태로 전개된다(정리 3). T−t가 d보다 크면, v(t,m)는 초기 정점 가중치 c(m)와 전체 정점 가중치 평균 (1/n^d)∑_{m∈M}c(m) 의 선형 결합으로 표현된다(식 10).

이러한 v와 f를 이용해 그래프의 모든 사이클에 대해 평균 가중치가 동일함을 보인다. 사이클이 T−d 이전에 끝나면, 사이클 길이 k에 대해 총 가중치는 k·(1/n^d)∑_{m}c(m) 이며, 따라서 평균 가중치는 정점 가중치의 전체 평균과 일치한다(정리 6). 이는 사이클 수가 지수적으로 많음에도 불구하고, 간선 가중치가 선형 방정식의 해와 동일하게 결정된다는 놀라운 결과를 낳는다.

또한 값 함수 v는 이산 라플라시안 Δ와 결합해
Δv(t,m)=c(m)−(1/n^d)∑_{m}c(m) (정리 7)
이라는 포아송 방정식을 만족한다. 즉, 게임을 통한 최적 전략이 그래프 위의 이산 포아송 문제의 해와 동등함을 보여, 게임 이론과 그래프 라플라시안 이론 사이의 깊은 연관성을 제시한다.

전체적으로 논문은 (1) 정점 가중치가 주어졌을 때 간선 가중치를 구성하는 존재성을 증명하고, (2) 그 구성 방법이 동적 프로그래밍과 최소-최대 전략에 의해 명시적으로 도출되며, (3) 결과가 과잉 결정된 선형 시스템 및 이산 포아송 방정식과 동일함을 밝혀, deBruijn 그래프와 사이클 평균 문제에 새로운 게임 이론적 해법을 제공한다.