시간‑분수 블랙‑숄즈 방정식의 효율적 수치 해법

초록

본 논문은 유럽형 옵션 가격을 기술하는 시간‑분수 블랙‑숄즈 방정식에 대해, 시간 변수는 Crank‑Nicolson 스킴으로, 공간 변수는 지수 B‑스플라인 전개로 근사하는 새로운 수치 알고리즘을 제안한다. 제시된 방법은 무조건 안정성을 가지며, 시간 정확도는 2‑µ 차수, 공간 정확도는 2차이며, 다양한 테스트 사례와 기존 연구와의 비교를 통해 우수성을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 옵션 가격 모델링에서 최근 각광받고 있는 시간‑분수 미분 연산자를 적용한 블랙‑숄즈 방정식(TFBSM)을 대상으로 한다. 저자들은 먼저 전통적인 블랙‑숄즈 PDE를 변환하여 0 < µ ≤ 1 인 Caputo‑형식의 분수 시간 미분을 포함하는 형태(식 (1)‑(4))로 정리한다. 여기서 µ가 1이면 고전적인 블랙‑숄즈 방정식으로 복원되며, µ가 0에 가까울수록 장기 기억 효과가 강조된다.

시간 전산화는 Crank‑Nicolson 방법을 기반으로 하여, L1‑형식의 차분 근사를 이용해 분수 미분을 2‑µ 차수의 정확도로 이산화한다(식 (8)). 이때 Δτ^ {2‑µ} 항이 남아 있어, µ가 1에 가까울수록 전통적인 2차 정확도와 일치한다. 공간 전산화는 지수 B‑스플라인(E‑B‑spline) 함수를 채택한다. E‑B‑스플라인은 파라미터 p ≥ 0에 따라 형태가 조절되는 비다항식 기저이며, C² 연속성과 컴팩트 지지성을 동시에 만족한다. 표 1에 제시된 값들을 이용해 각 스플라인과 그 1·2계도함수를 노드 y_j에서 정확히 계산할 수 있다.

이 두 이산화 과정을 결합하면, 각 시간 단계마다 삼대각 행렬 형태의 선형 시스템(식 (11)‑(12))이 얻어진다. 시스템은 경계 조건을 포함해 J + 1개의 미지수 δ_{n+1}^j 로 구성되며, 전형적인 Thomas 알고리즘으로 효율적으로 해결 가능하다.

안정성 분석에서는 차분 연산자를 에너지 형태로 변형해, 분수 미분 연산자의 양의 정의성을 이용해 무조건 안정성을 증명한다(정리 1). 증명은 기존 문헌