동적 시장을 위한 해석 가능한 속성‑레벨 가격 모델 AFDLD와 무투영 학습 알고리즘 ADEPT

초록

본 논문은 제품 속성별 기여도를 명시적으로 더하는 Additive Feature Decomposition 기반 저차원 수요 모델(AFDLD)을 제안하고, 이를 활용해 속성 공간에서 직접 가격을 조정하는 무투영·무그라디언트 온라인 학습 알고리즘 ADEPT을 설계한다. ADEPT은 $\tilde O(\sqrt d,T^{3/4})$의 서브선형 regret를 달성하며, 합성·실제 데이터 실험을 통해 동적 시장 충격에 빠르게 적응하고, 속성‑레벨 가격 설명을 제공함을 입증한다.

상세 분석

AFDLD 모델은 제품‑속성 행렬 $U\in\mathbb R^{N\times d}$와 속성 가격 벡터 $\theta\in\mathbb R^{d}$를 이용해 가격을 $p_i=\langle u_i,\theta\rangle$ 로 표현한다. 이는 기존 저‑랭크 모델이 잠재 변수에 의존해 해석이 어려운 점을 극복하고, 각 속성이 가격에 미치는 기여도를 직접 확인할 수 있게 한다. 수요식 (2a)은 기본 수요 $z_t\in\mathbb R^{d}$, 자기가격 탄력성 $\alpha_{ii}$, 교차탄력성 $\alpha_{ij}$, 그리고 속성 중요도 행렬 $V_t$ 를 결합해 $$q_t(i)=u_i^\top z_t-\alpha_{ii}\langle u_i,u_i\rangle V_t p_t(i)+\sum_{j}\alpha_{ij}\langle u_i,u_j\rangle V_t\big(p_t(j)-p_t(i)\big)+\varepsilon_t(i)$$ 와 같이 정의한다. 여기서 $(p_t(j)-p_t(i))$ 항은 대체 효과를 정량화하며, 유사 속성을 가진 제품 간 가격 차이가 수요에 미치는 영향을 자연스럽게 모델링한다. 수익 함수는 $\theta$ 에 대한 이차형식 $R_t(\theta)=-\theta^\top U^\top M_t U\theta+\theta^\top U^\top z_t$ 로 변환되며, $M_t$ 은 $V_t$ 와 $\alpha$ 로 구성된 속성‑탄력성 연산자이다. $-R_t(\theta)$ 가 볼록함을 이용해 온라인 볼록 최적화 문제로 전환한다.

ADEPT 알고리즘은 (i) 투영이 필요 없는 Frank‑Wolfe 스타일의 방향 선택, (ii) 함수값만으로 기울기를 추정하는 무그라디언트(zeroth‑order) 추정기를 결합한다. 매 라운드마다 현재 $\theta_t$ 로 가격을 제시하고, 관측된 수익 $R_t(\theta_t)$ 로부터 무작위 탐색 방향 $u$ 를 샘플링해 $\hat\nabla R_t(\theta_t)\approx\frac{R_t(\theta_t+\delta u)-R_t(\theta_t)}{\delta}u$ 를 계산한다. 이후 $\theta_{t+1}=\theta_t-\eta_t \hat\nabla R_t(\theta_t)$ 로 업데이트하며, $\theta$ 를 사전 정의된 박스 $