다변량 플루리하모닉 사상에서 안정적 일대일성 및 계수 추정의 새로운 전개

초록

본 논문은 볼록 레인하르트 영역 위에서 정의된 플루리하모닉 사상에 대해 다변량 Noshiro‑Warschawski 정리를 확장하고, 두 번째 편미분합에 대한 상한 M을 갖는 정규화 클래스 𝔅_{ℋ_n^0}(M)을 정의한다. 또한 f = h+ \overline{g} 형태의 플루리하모닉 사상이 안정적 일대일성을 갖는 조건을, 대응하는 전 holomorphic 사상 F = h+g가 단위 폴리디스크 𝔓Δ(0;1) 에서 안정적 일대일성을 갖는 것과 동치임을 증명한다. 마지막으로 계수의 상한을 정확히 구하고, 기존 1차원 결과를 n차원으로 일반화한다.

상세 분석

논문은 먼저 복소 n 차원에서의 볼록 레인하르트 영역 Ω 위에 정의된 플루리하모닉 함수 f(z)=h(z)+\overline{g(z)} 에 대해, 각 변수에 대한 실부분 미분 ∂f/∂z_j 가 연속이고 ∂f/∂z_j(z₀)≠0 인 경우, 작은 레인하르트 이웃 N(z₀) 내에서 f 가 일대일임을 보이는 다변량 버전의 로컬 역함수 정리를 제시한다(Prop. 1.1). 이때 레인하르트 성질을 이용해 회전 변환을 적용, 경로 ξ(t) 를 구성하고 평균값 정리를 통해 차이식이 ½ ∑|∂f(z₀)/∂z_j||w_j−z_j| 보다 크게 됨을 보인다.

다음으로, 단순 연결 영역에서 플루리하모닉 함수는 항상 f=h+g 형태의 전 holomorphic h와 반 holomorphic g의 합으로 분해될 수 있음을 증명한다(Prop. 1.2). 이는 고전적인 Clunie‑Sheil‑Small 정리의 다변량 확장으로, 이후 전반적인 구조 분석의 기반이 된다.

핵심은 새로운 함수 클래스 𝔅_{ℋ_n^0}(M) 을 정의한 점이다. 여기서는 모든 z∈𝔓Δ(0;1) 에 대해
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