QR‑AAA 기반 벡터값 유리 근사와 다중 분야 적용 사례

초록

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본 논문은 QR‑AAA 알고리즘을 소개하고, Stokes 흐름 계산, 다변량 유리 근사, 함수 연장, 새로운 구적법, 그리고 Helmholtz 경계요소법의 근접장 근사 등 다섯 가지 실용적 응용을 통해 그 유연성과 효율성을 입증한다. 기존 SV‑AAA 대비 차원 축소와 QR 분해를 이용한 가중치 계산으로 연산량을 크게 감소시키면서도 정확도는 유지한다.

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상세 분석

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QR‑AAA는 기존의 SV‑AAA가 전체 함수 벡터 $f\in\mathbb{F}^n$에 직접 적용될 때 발생하는 $O(m^2 n(N-m))$ 복잡도를 피하기 위해, 먼저 열‑피벗 QR 분해를 통해 $F\approx Q C$ 형태의 저차원 기저 $Q\in\mathbb{F}^{N\times k}$(여기서 $k\ll n$)를 추출한다. 이후 $Q$에 SV‑AAA를 적용해 지원점 ${\zeta_\nu}$와 가중치 ${w_\nu}$를 얻고, 이를 원래 함수 집합에 전파함으로써 전체 벡터값 유리 근사를 구성한다. 이 과정에서 핵심은 “바리센트릭 행렬” $H_m$가 잘 행동한다는 가정이며, $H_m$이 작은 샘플값을 작은 함수값으로 매핑한다면 인위적인 극점이 생성되지 않는다.

알고리즘 1은 MATLAB‑스타일 의사코드로 구현되었으며, 실제 구현에서는 $C$의 앞쪽 $k\times k$ 블록만 계산하고, 조기 종료형 Householder QR을 사용해 메모리와 연산을 최적화한다. 병렬 버전도 제공되어 대규모 $n$(수천~수만) 상황에서도 효율적으로 동작한다.

응용 3.1에서는 Stokes 흐름의 이중층 전위 $D