2‑커버링 수와 가설의 반증

초록

본 논문은 가환이 아닌 유한 가해군에 대해 2‑커버링 수 σ₂(G)를 연구한다. 기존에 제시된 “σ₂(G)=1+q+q²”(q는 소수 거듭제곱)라는 가설이 모든 가해군에 성립한다는 주장에 반례를 제시한다. 구체적으로, 홀수 소수 p에 대해 σ₂(G)=1+p²+p³+p⁴인 가해군과, 소수 거듭제곱 q와 q+1을 나누는 홀수 소수 p에 대해 σ₂(G)=q²+q³+q⁴+p인 가해군을 각각 구성한다. 이를 통해 2‑커버링 수가 반드시 홀수일 필요가 없으며, 가설이 일반적으로 틀렸음을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 2‑커버링 개념을 정의하고, 2‑생성되지 않은 유한군만이 2‑커버링을 가질 수 있음을 상기한다. 기존 연구(Gagola‑Kirtland, 2025)에서는 p‑군의 경우 σ₂(G)=1+p+p²라는 형태가 성립한다는 결과와, 더 일반적인 가해군에 대해 σ₂(G)=p^{2t}+p^{t}+1(어떤 소수 p와 양의 정수 t 존재)이라는 추측을 제시하였다. 저자는 이 추측이 모든 가해군에 대해 옳지 않음을 보이기 위해 두 종류의 반례군을 구성한다.

첫 번째 반례는 H를 차수 8의 사원수군으로 잡고, H의 절대 비가역 2차 표현을 이용해 차원 2의 H‑모듈 V(p²)를 만든다. 여기서 F=End_H(V)≅𝔽_p이며, r=dim_F V=2가 된다. G=V³⋊H를 정의하면 d(G)=3이므로 2‑생성되지 않는다. G의 최대 부분군은 (1) V³의 H‑극대 서브모듈을 포함하는 형태와 (2) H의 극대 부분군을 포함하는 형태 두 종류가 있다. 첫 번째 종류는 정확히 γ= p²+p³+p⁴ 개 존재한다. 논문은 모든 2‑생성 부분군 X⊆G가 첫 번째 종류의 최대 부분군에 포함되거나, 그렇지 않은 경우 X는 V³ 안에 들어가므로 두 번째 종류의 최대 부분군 V³⟨h⟩(h∈H, |h|=2)만이 X를 포함한다는 점을 보인다. 따라서 2‑커버링을 위해서는 첫 번째 종류 전부와 두 번째 종류 중 하나만 추가하면 충분하고, 최소 크기는 γ+1=1+p²+p³+p⁴가 된다.

두 번째 반례는 q가 소수 거듭제곱이고, p가 q+1을 나누는 홀수 소수인 경우를 다룬다. 여기서는 H를 차수 2p인 이분법군으로 잡고, E=𝔽_{q²}의 가법군 V를 H‑모듈로 만든다. a∈H(차수 p)는 E×의 원소로 작용하고, b∈H(차수 2)는 Frobenius 자동사상을 통해 작용한다. 이때 V는 H‑불변이며 End_H(V)≅𝔽_q, 따라서 r=2이다. 동일한 구조의 G=V³⋊H를 고려하면, 첫 번째 종류의 최대 부분군 수는 γ= q²+q³+q⁴이다. 여기서 p가 차지하는 역할을 분석하면, p가 차지하는 2‑생성 부분군은 V³⟨h⟩(h∈H, |h|=2) 형태의 최대 부분군에만 포함된다. 따라서 2‑커버링을 완성하려면 이러한 최대 부분군을 모두 포함해야 하며, 그 개수는 p와 일치한다. 결과적으로 σ₂(G)=γ+p= q²+q³+q⁴+p가 된다.

이 두 반례는 σ₂(G)가 반드시 1+q+q² 형태의 홀수가 아니라는 것을 명확히 보여준다. 특히 첫 번째 반례는 σ₂(G)=1+p²+p³+p⁴라는 짝수 값을 제공하고, 두 번째 반례는 σ₂(G)=q²+q³+q⁴+p라는 형태로 p가 임의의 홀수 소수가 될 수 있음을 보여준다. 따라서 “σ₂(G)=p^{2t}+p^{t}+1”이라는 일반 추측은 틀렸으며, 2‑커버링 수는 훨씬 다양하게 나타날 수 있다. 논문은 이러한 반례를 통해 2‑커버링 수에 대한 보다 정교한 범위와 구조적 제한을 탐구할 필요성을 강조한다.