GL₂ₙ/Sp₂ₙ에 대한 상대적 카잔‑루츠키스 동형사상

초록

본 논문은 대칭쌍 ((GL_{2n},Sp_{2n}))에 대해 기존 카잔‑루츠키스 동형사상의 상대적 버전을 구축한다. Iwahori 불변 함수들의 컴팩트 지지 모듈과, 듀얼 군의 상대적 스테인버그 다양체에서 유도된 K‑이론 모듈 사이의 동형을 증명하고, 이를 이용해 (GL_{2n})의 Iwahori 고정 벡터를 가진 표현들 중 (X=GL_{2n}/Sp_{2n})에 대해 구별되는( distinguished) 조건을 새로운 방식으로 재증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 카잔‑루츠키스 동형사상(KL 동형사상)의 배경을 정리한다. KL 동형사상은 (p)-adic 군 (G)의 Iwahori‑Hecke 대수 (\mathcal H(G,I))와 그 듀얼 군 (G^\vee)의 스테인버그 다양체 (\mathcal S t)의 등변 K‑이론 사이의 동형을 제공함으로써, Iwahori 고정 벡터를 가진 매끄러운 불가산 표현들의 파라미터화를 가능하게 한다. 저자는 이 구조를 대칭공간 (X=GL_{2n}/Sp_{2n})에 적용하기 위해, 먼저 (X)에 대한 Hamiltonian 공간 (M=T^*X)와 그 상대적 듀얼 (M^\vee)를 정의한다. 여기서 (M^\vee)는 블록 행렬 형태의 부분군 (H\subset GL_{2n})와 그 리프 형태 (\psi)를 이용해 구성된 뒤틀린 코탄젠트 번들이다.

핵심은 새로운 상대적 스테인버그 다양체 (\Lambda = M^\vee \times_{\mathfrak g^\vee} \widetilde{\mathcal N})를 도입하고, 세 개의 자연스러운 사상(두 개는 (\Lambda)로, 하나는 기존 (\mathcal S t)로)으로부터 (\Lambda)의 호몰로지 이론에 (\mathcal H(G,I))-모듈 구조를 전이시키는 것이다. 저자는 이 구조를 이용해 다음 네 가지 동형을 구축한다.

1. (\Lambda)의 위상적 Borel‑Moore 호몰로지에 부호 표현 (\operatorname{sgn})을 텐서한 뒤, Borel 궤도 집합 (\mathbb C