Escobar‑Willmore 질량과 경계 선택에 대한 급격한 임계 현상

초록

본 논문은 컴팩트 리만 다양체에서 경계 임계 변분문제인 Escobar 문제와 Gagliardo‑Nirenberg 부등식을 통합적인 양적 프레임워크로 다루며, 반구 임계값 (S_\ast) 에서의 급격한 임계 현상을 정확히 기술한다. 평균곡률 (H_g)와 이방성 Willmore‑형 질량 (\mathfrak R_g) 가 첫 번째 비소멸 계수로 작용해 버블링 발생 여부와 위치를 결정하고, 다중 버블 상황에서는 (\mathcal W_k=\sum_{i=1}^k\mathfrak R_g(x_i)) 가 중심 동역학을 지배한다. 또한 GN 부등식 측면에서 작은 디리클레 창을 둔 경우 상수의 발산률을 최적 용량 비율과 연결시켜 기존 질문을 해결한다.

상세 분석

이 논문은 두 개의 주요 변분 문제—Escobar 경계 임계 문제와 Dirichlet형 Gagliardo‑Nirenberg 부등식—에 대해 “전이‑안정‑축소”라는 삼단계 전략을 도입한다. 첫 단계에서는 반구 (\mathbb S^n_+) 에서의 모델 안정성을 정량적으로 증명하고, 이를 근접 등거리 사상(near‑isometry)과 정량적 안정성 추정량을 이용해 일반적인 (M,g) 로 전이한다. 두 번째 단계에서는 Fermi 좌표 전개를 통해 1차와 2차 경계 전개식을 얻으며, 첫 번째 비소멸 계수는 (\rho_n^{\mathrm{conf}}H_g) 로, 두 번째는
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