비선형 최악‑최선 방법을 위한 범용 해석 프레임워크

초록

본 논문은 비선형 베스트‑워스트 메소드(BWM)의 최적 가중치 집합이 다중으로 존재하는 문제를 해결한다. 기존 분석적 접근이 Saaty 척도와 단일 의사결정자에만 적용되는 한계를 지적하고, 임의의 척도와 다수의 의사결정자를 포괄하는 일반화된 해석 프레임워크를 제시한다. 또한 일관성 지수(CI)와 일관성 비율(CR)의 새로운 정의를 도출하고, 다중 최·악 기준이 존재할 때의 가중치 균등성을 보장하도록 모델을 수정한다. 수치 예제와 건물 에너지 효율 장벽 순위 사례를 통해 실효성을 검증한다.

상세 분석

논문은 비선형 BWM이 최적 해가 다중 존재함에도 불구하고 기존에는 최적화 소프트웨어에 의존해 해를 선택해 왔던 점을 비판한다. Wu et al. (2022)의 분석적 방법은 PCS(쌍대 비교 시스템)를 최적 변형(modified)하여 η를 최소화함으로써 최적 구간 가중치를 구하고, 동일 η에 대응하는 여러 가중치 집합 중 하나를 선택하는 2차 목표함수를 제시한다. 그러나 이 접근법은 a_ij 값이 Saaty 척도(1‑9)일 때만 수식이 성립하고, 다중 의사결정자 상황에서는 일관성 지수 CI가 정의되지 않아 일관성 비율(CR)의 해석이 모호해진다. 저자는 이러한 한계를 극복하기 위해 다음과 같은 핵심 기여를 한다. 첫째, 척도에 구애받지 않는 일반적인 최적 변형 문제를 수립한다. 여기서는 모든 a_ij에 대해 |ã_ij − a_ij| ≤ η를 만족하도록 ã_ij를 조정하고, ã_bi·ã_iw = ã_bw라는 일관성 조건을 강제한다. 이 문제는 비선형이지만, 각 i에 대해 D₁, D₂, D₃ 집합을 정의하고, 이들에 대해 2차 방정식의 최소 양근을 구함으로써 η_i를 해석적으로 도출한다. η는 D₁과 D₂에서 가장 큰 η_i 중 조건에 따라 선택되는 값이며, 이는 기존 방법과 동일한 최적 목표값을 보장한다. 둘째, η를 이용해 최적 변형 PCS를 구하고, 이를 통해 w_i = ã_iw / ∑_j ã_jw 형태의 구간 가중치를 직접 계산한다. 이 과정은 전통적인 선형/비선형 최적화 소프트웨어 없이도 수행 가능하다. 셋째, CI를 a_bw와 η의 함수로 재정의한다. 기존 문헌에서 제시된 Saaty 척도 전용 CI 값이 실제 최적화 문제와 일치하지 않음을 수학적으로 증명하고, CI = η/a_bw 형태의 일반식을 제시한다. 이를 기반으로 CR = η*/CI = a_bw⁻¹·η* 로서 입력 기반 일관성 지표를 제공한다. 넷째, 다중 최·악 기준이 존재할 경우 기존 모델은 임의로 하나의 최·악 기준을 선택해 가중치를 계산하므로, 동일한 최·악 그룹 내 가중치가 불균형하게 된다. 저자는 이를 해결하기 위해 최·악 기준 집합 전체에 대해 동일한 η를 적용하도록 제약을 추가하고, 수정된 최적화 모델을 유도한다. 이 모델 역시 위와 동일한 해석적 절차로 해결되며, 최·악 그룹 내 가중치가 균등하게 분배된다. 마지막으로, 제안된 프레임워크를 5개의 수치 예제와 건물 에너지 효율 장벽 순위 사례에 적용한다. 실험 결과, 기존 소프트웨어 기반 방법과 동일하거나 더 작은 η를 얻으며, CR 값이 사전에 설정한 허용 한계(예: 0.1) 내에 있음을 확인한다. 특히 다중 의사결정자 상황에서 일관성 지표가 명확히 정의되어 의사결정자 간 의견 조율에 유용함을 보여준다. 전체적으로 이 논문은 비선형 BWM의 해석적 해법을 일반화하고, 일관성 평가를 입력 기반으로 전환함으로써 실무 적용성을 크게 향상시킨다.