특정 수치반군의 Frobenius 수와 첫 번째 Hilbert 계수에 관한 명시적 공식

초록

본 논문은 최소 생성원이 <a, a+1, a+d> 인 수치반군 H와 그 반군환 R = k

상세 분석

논문은 먼저 <a, a+1, b> 형태의 3차원 수치반군에 대한 Apéry 집합을 상세히 계산한다. 특히 b 를 aq + r (q≥0, 1≤r<a) 로 쓰고, ω_i = min {h∈H | h≡i (mod a)} 에 대해 ω_i = i(a+1) − ⌊ir/a⌋(r(a+1)−b) 라는 기존 결과를 재검토하고, 이를 일반화하여 ω_i = i(a+1) − (d−1)·⌊i d/a⌋ 형태의 식을 도출한다. 여기서 d 는 b − a 이며, a ≥ d² − 3d 라는 가정 하에 식이 단순화된다. 이 식을 이용해 F(H)=max_{1≤i<a} ω_i − a 를 구하고, 특히 d=5인 경우에는 a를 5로 나눈 나머지에 따라 두 가지 경우로 나뉘는 명시적 공식 F(H)=⌊a/5⌋(a+5)+2a+3 또는 ⌊a/5⌋(a+5)+2a−1 을 얻는다.

다음으로 정의이상 I=ker φ (φ: k