무작위 구조 시스템의 구조적 대각화 가능성

초록

본 논문은 구조화된 행렬이 거의 모든 실현에서 대각화 가능한지를 판단하는 ‘구조적 대각화 가능성’ 개념을, 무작위 방향성 에르되시–레니 그래프 모델에 적용해 확률적 특성을 분석한다. 그래프의 평균 차수(밀도)에 따라 밀집, 중간, 극히 희소 세 구간으로 나누어, 밀집 그래프에서는 거의 확실히 구조적 대각화가 가능하고, 희소 그래프에서는 그 확률이 0에 수렴함을 보인다. 중간 밀도 구간에서는 상·하한을 정밀히 도출하고, 수치 시뮬레이션으로 이론을 검증한다.

상세 분석

이 연구는 구조적 대각화 가능성을 그래프 이론과 확률론을 결합해 새롭게 조명한다. 먼저, 구조화된 행렬 ¯A 의 자유 항목이 그래프 G(¯A) 의 간선 집합과 일대일 대응한다는 점을 이용해, ‘구조적 대각화 가능성’이 ‘그래프가 최대 매칭을 포함하고, 그 매칭이 일관된(consistent) 형태로 사이클 분해를 이루는가’라는 두 가지 동등 조건으로 귀결됨을 기존 문헌(