무분할 용량 제한 차량 라우팅 문제의 개선된 근사 알고리즘

초록

본 논문은 무분할 CVRP(용량 제한 차량 라우팅 문제)에 대해 두 가지 새로운 근사 알고리즘을 제시한다. 고정 용량 경우에는 α+1+ln(2−½y₀) < 3.0897, 일반 용량 경우에는 α+1+y₁+ln(2−2y₁)+δ < 3.1759의 비율을 달성한다. 여기서 α는 현재 알려진 TSP 근사비율이며, y₀≈0.39312, y₁≈0.17458는 각각 정의된 방정식의 유일한 실근이다. 또한 기존의 δ‑ITP 알고리즘을 개선한 δ‑ITP+를 핵심 서브루틴으로 사용한다.

상세 분석

논문은 무분할 CVRP의 근사비율을 현재 최선인 α+1+ln 2 ≈ 3.1932보다 현저히 낮추는 두 알고리즘을 설계한다. 첫 번째 알고리즘은 차량 용량 k가 고정된 경우에 적용되며, n·O(k) 시간 복잡도로 실행된다. 핵심 아이디어는 기존의 ITP(Iterated Tour Partition)와 δ‑ITP를 개선한 δ‑ITP+를 결합하고, 두 개의 서브알고리즘(SubAlg.1, SubAlg.2)을 병렬적으로 실행한 뒤 더 좋은 해를 선택하는 것이다. SubAlg.1은 큰 수요(d > k/3)를 매칭 기반으로 먼저 처리하고, 나머지를 δ‑ITP(δ=1/3)로 해결한다. SubAlg.2는 n·O(k)개의 가능한 투어를 변수로 하는 LP를 풀고, 무작위 라운딩 후 남은 고객을 δ‑ITP+로 처리한다. 이때 LP는 투어당 최대 k개의 고객만 포함하도록 제한함으로써 변수 수를 다항식 수준으로 유지한다. 분석 과정에서 각 서브알고리즘이 제공하는 비용 상한을 정밀히 계산하고, 최적의 y₀값을 이용해 α+1+ln(2−½y₀)라는 형태의 비율을 도출한다. y₀는 방정식 ln(2−½y)=3y/2의 해이며, y₀≈0.39312이므로 전체 비율은 α=1.5일 때 3.0897 이하가 된다.

두 번째 알고리즘은 용량 k가 일반적인 경우에 적용된다. 여기서는 n·O(1/δ) 시간 안에 실행 가능한 LP를 구성하기 위해, 수요가 δ·k 이하인 고객을 미리 trivial 투어로 처리하고, 남은 고객 집합에 대해 n·O(1/δ)개의 후보 투어만을 고려한다. 세 개의 서브알고리즘(SubAlg.1, SubAlg.3, SubAlg.4)이 각각 다른 라운딩 및 δ‑ITP+ 전략을 사용한다. SubAlg.3은 1/3‑ITP+를, SubAlg.4는 일반 δ‑ITP+를 적용한다. 이들 서브알고리즘의 비용 상한을 비교 분석한 결과, y₁≈0.17458(방정식 ½y+6(1−y)(1−e^{−y/2})=ln(2−2y)의 해)를 이용해 α+1+y₁+ln(2−2y₁)+δ라는 비율을 얻는다. δ는 임의의 작은 양수(10⁻⁵ 이하)로, Blauth et al. (2023)의 결과를 통해 상수만큼 추가 개선이 가능함을 보인다.

기술적 기여는 크게 세 가지로 요약된다. 첫째, δ‑ITP+를 통해 큰 수요 고객을 사전에 trivial 투어로 처리함으로써 기존 δ‑ITP의 비용 상한을 엄격히 낮췄다. 둘째, LP‑라운딩과 ITP 기반 파티셔닝을 조합한 하이브리드 설계가 고정 및 일반 용량 모두에서 최적에 가까운 비율을 달성하도록 했다. 셋째, 비율을 결정하는 y₀, y₁ 방정식의 해를 정밀히 분석하고, 이를 통해 기존 3.1932보다 약 0.1~0.2 정도 개선된 구체적 상수를 제공한다. 이러한 결과는 무분할 CVRP의 이론적 한계를 크게 전진시켰으며, 실제 물류 시스템에서도 보다 효율적인 라우팅 설계에 활용될 가능성이 있다.