유니터리 군 U(2,n) 에서 사원수 에이스테인 급수의 유리성

초록

본 논문은 허수 이차체 E 위의 유니터리 군 U(2,n) ( n≡2 (mod 4) )에 대해, 차수 ℓ>n 인 퇴화 히젠버그 에이스테인 급수 Eₗ를 정의하고, 그 푸리에 전개를 명시적으로 계산한다. 저자들은 각 푸리에 계수가 특정 의미에서 유리수이며, 그 분모는 ℓ, n, E 에만 의존하는 정수로 일관되게 제한된다는 것을 증명한다. 이는 사원수 모듈라 형식 중 최초로 푸리에 계수의 유리성(또는 대수성)을 확립한 결과이다.

상세 분석

논문은 먼저 E=ℚ(√−D) ( D≡3 (mod 4) )와 2 가 E 에서 분기되지 않는다는 가정 하에, 실아키형 (2,n) 을 갖는 비퇴화 헤르미티안 공간 V 를 선택한다. 이때 V 는 모든 유한소에서 분할(split)하고, 실아키형은 U(2,n) 의 실랭크 2 구조를 제공한다. 저자들은 V 를 V⁺₂⊕V⁻ₙ 으로 분해하고, 이에 대응하는 최대 콤팩트군 K_∞≅U(2)×U(n) 을 고정한다. 가중치 ℓ 에 대해 V_ℓ:=Sym^{2ℓ} V⁺₂⊗det^{−ℓ} 이라는 K_∞‑표현을 정의하고, 이는 ℓ≥n 일 때 Gross‑Wallach가 구축한 사원수 이산 급류 Π_ℓ 의 최소 K_∞‑형을 제공한다.

다음으로 저자들은 Ind_{P(𝔸)}^{G(𝔸)}|ν|^{s} ( ν는 P 의 시뮬리튜드 문자) 에 대한 비정규화 섹션 f_ℓ(g,s) 을 선택하고, s=ℓ+1>n+1 에서 수렴하는 에이스테인 급수

E_ℓ(g):=∑_{γ∈P(ℚ)\G(ℚ)} f_ℓ(γg,ℓ+1)

를 정의한다. 이 급수는 앞서 정의한 V_ℓ‑값 함수이며, D_{±ℓ} 연산자를 적용하면 사원수 모듈라 형식의 정의를 만족한다는 것을 보인다.

핵심은 푸리에 전개의 정확한 형태를 구하는 것이다. 저자들은 HMY(2025)에서 제시된 일반적인 사원수 푸리에 전개 이론을 활용하여,

F_Z(g)=F_N(g)+∑{T∈V₀,⟨T,T⟩≥0} a_T(F,g_f)·W_T(g∞)

형태로 전개한다. 여기서 W_T 는 Bessel‑형 K‑함수와 β_T(m)=4√2π⟨u₂, zT·h⟩ 을 포함하는 명시적 식(3.2)으로 주어진다.

E_ℓ의 푸리에 계수 a_T(E_ℓ,·) 에 대해 저자들은 두 단계의 로컬 계산을 수행한다.

1. 유한소 부분: p가 E 에서 비분기화된 경우, 기존의 Siegel‑시리즈 결과(KY 2025)를 직접 적용한다. p가 분기화된 경우, 저자들은 새로운 “분기화된 Siegel‑시리즈” 공식을 증명하고, 이를 통해

a_T(E_ℓ,1)p = (1−p^{n−2ℓ−2})·p^{(n−2ℓ−1)v_p(⟨T,T⟩)}·Q{T,p}(p^{ℓ−n−1/2})

와 같은 형태를 얻는다. 여기서 Q_{T,p} 는 ℤ