자기유사 측정의 약한 양자화 차원 연구

초록

본 논문은 분리 조건을 만족하지 않는 IFS에서도, 일정 단계의 부분 IFS가 분리 조건을 만족할 경우의 자기유사 측정에 대한 양자화 차원(특히 차원 0)을 분석한다. 부분 측정 μₙ이 원래 측정 μ에 대해 절대연속이며 L∞ 밀도를 갖는 것을 보이고, D_r(μₙ) ≤ D_r(μ) 및 하위 Assouad 차원에 대한 동일한 부등식을 얻는다. 또한, OSC를 만족하는 부분 IFS에 대해 κ_r 를 정의하고, 전체 측정의 양자화 차원은 min{κ_r, m} 로 결정됨을 증명한다. 마지막으로, 기하 평균 오차(양자화 차원 0)를 이용해 Borel 확률 측정 공간 Ω(ℝ^m)을 두 개의 조밀한 부분집합으로 근사한다는 결과를 제시한다.

상세 분석

이 연구는 자기유사 측정 μ의 양자화 차원 D_r(μ)을 기존의 강한 분리 조건(SSC, OSC 등) 없이도 다룰 수 있는 새로운 접근법을 제시한다. 저자는 전체 IFS가 분리 조건을 위반하더라도, 어느 수준 n에서 선택된 부분 IFS I_n이 OSC 혹은 SSC를 만족한다는 가정 하에, μ_n 이 μ에 대해 절대연속(μ_n ≪ μ)임을 증명한다. 이 절대연속성은 Banach 고정점 정리를 이용한 전이 연산자 P의 수축성으로부터 도출되며, μ_n 의 밀도는 L∞-bounded임을 보인다. 이러한 절대연속성은 기존 문헌(