혼돈을 확장한다: 확률 미분·편미분 방정식용 신경 연산자

초록

본 논문은 Wiener‑Chaos 전개를 이용해 확률 미분 방정식(SDE)과 확률 편미분 방정식(SPDE)의 해 연산자를 학습하는 새로운 신경 연산자(Neural Operator) 프레임워크를 제안한다. 잡음 경로를 정규 직교 Wick‑Hermite 특성으로 투사하고, 이 특성을 조건으로 하여 결정론적 ODE/PDE 형태의 혼돈 계수를 신경 연산자로 파라미터화한다. 이를 통해 하나의 전방 패스로 전체 궤적을 재구성할 수 있다. 다차원 SDE와 반선형 SPDE에 대한 연계된 결정론적 계수 시스템을 명시적으로 제시하고, FNO, GINO 등 기존 연산자를 활용해 실험적으로 다양한 물리·금융·이미지·그래프·다양체 데이터에 적용해 경쟁력 있는 정확도와 빠른 추론을 입증한다.

상세 분석

논문은 확률 동역학을 다루는 SDE·SPDE의 해를 함수 공간 사이의 매핑으로 보는 관점에서 시작한다. 기존 신경 연산자(FNO, DeepONet 등)는 결정론적 연산자를 한 번에 학습해 시간‑스텝을 건너뛰는 ‘one‑shot’ 평가가 가능하지만, 잡음이라는 무작위 입력을 어떻게 효과적으로 인코딩하느냐가 핵심 과제로 남아 있었다. 저자들은 Wiener‑Chaos Expansion(WCE)을 활용해 이 문제를 근본적으로 해결한다. 먼저, Q‑Brownian 운동을 무한 차원의 가우시안 좌표(ξ_{ij})로 전개하고, 이를 정규 직교 Wick‑Hermite 다항식 ξ^{α} 로 구성한다. 이렇게 얻은 ξ^{α}는 잡음 경로를 완전하게 표현하는 기저가 되며, 각 실현은 유한 차원으로 truncation하여 피처 벡터 η에 압축된다.

그 다음, WCE 이론에 따라 SDE·SPDE 해 X_t는 혼돈 계수 u_{α}(t,·)와 ξ^{α}의 선형 결합으로 표현된다. 핵심은 u_{α}가 오직 시간(및 공간) 변수만을 의존하는 결정론적 ODE/PDE 시스템을 만족한다는 점이다. 정리 1·2는 다차원 SDE와 반선형 SPDE에 대해 각각
d/dt u_{α}(t)=E