캐리리스 페어링 피보나치 기반 무가산 쌍 인코딩

초록

이 논문은 자연수 쌍 (x, y)를 하나의 자연수 n 으로 인코딩하는 새로운 페어링 함수 πₜ₍CL₎ 를 제안한다. 피보나치(제크엔도르프) 표현의 지수를 이용해 x 의 비트는 짝수 인덱스에, y 의 비트는 홀수 인덱스에 배치하고, 두 영역 사이에 구분자 B(x)를 삽입함으로써 인코딩 과정에서 어떠한 ‘자리 올림’도 발생하지 않는다. 평가와 복호화는 전적으로 덧셈, 비교, 그리고 지수 집합의 선형 스캔만으로 수행되며, 곱셈이나 소인수분해가 전혀 필요하지 않다. 함수는 전사(injective)이며, 이미지 여부는 동일한 지원 집합 연산을 이용한 결정 절차로 판별 가능하다. 주요 정리와 알고리즘은 Coq 로 기계화되어 검증되었다.

상세 분석

본 논문은 기존의 곱셈 기반 Gödel 번호 매김이나 Cantor 다항식 페어링과 달리, 순수히 ‘덧셈 전용’인 인코딩 메커니즘을 설계한다는 점에서 이론적·실용적 의미가 크다. 핵심 아이디어는 제크엔도르프 정리에 의해 모든 자연수 n 은 인접하지 않은 피보나치 인덱스 집합 Z(n) 으로 유일하게 표현된다는 사실을 활용하는 것이다. 저자는 입력 x 에 대해 그 지수 집합 Z(x) 를 짝수 인덱스 2·e 로 매핑하고, x 의 최대 피보나치 인덱스보다 큰 구분자 B(x)=2·r(x) 를 정의한다. 이후 y 의 지수 집합 Z(y) 를 B(x)+(2·j−1) 형태의 홀수 인덱스로 옮긴다. 이렇게 하면 두 집합 사이에 인접한 인덱스가 전혀 존재하지 않으므로, 합산 결과는 이미 제크엔도르프 표준형(즉, ‘캐리리스’)이다.

알고리즘적 측면에서 저자는 세 가지 절차를 제시한다. ‘Pair’는 Z(x), Z(y) 를 추출하고 위 변환을 적용해 새로운 지수 집합 S 를 만든 뒤, 해당 피보나치 수들의 합을 반환한다. ‘Unpair’는 주어진 n 에 대해 Z(n) 를 구하고, 짝수 인덱스를 2로 나누어 Z(x)를 복원, 구분자 B(x)를 계산한 뒤, B(x)보다 큰 홀수 인덱스를 역변환해 Z(y)를 얻는다. ‘UnpairChecked’는 복원된 (x, y) 를 다시 Pair에 넣어 원본 n 과 일치하는지 검증함으로써 이미지 여부를 결정한다.

복잡도 분석에 따르면, 모든 절차는 Z(·) 집합을 추출하는 비용을 제외하고는 O(|Z(x)|+|Z(y)|) 혹은 O(|Z(n)|) 수준의 선형 시간에 수행된다. 이는 곱셈 기반 인코딩이 필요로 하는 소인수분해 혹은 제곱근 연산에 비해 현저히 효율적이다. 또한, 이미지 검증이 Δ₀(즉, 결정 가능한) 절차로 구현될 수 있다는 점은 형식 이론에서 중요한 메타수학적 속성이다.

형식 검증 부분에서는 Coq(Gallina) 로 Zeckendorf 지원 추출기와 순위 함수 r(·) 를 추상화하고, 구체적인 탐욕적 구현을 포함한 전체 증명을 제공한다. 이를 통해 ‘unpair ∘ πₜ₍CL₎ = id’ 와 ‘πₜ₍CL₎’ 의 전사성을 기계적으로 검증하였다.

마지막으로 저자는 이 구조가 약한 산술 체계(예: bounded arithmetic)에서 튜플 코딩을 가능하게 함으로써, 곱셈이 차단된 환경에서도 증명 이론의 표현력을 확장할 수 있음을 강조한다. 또한, 이미지 집합 자체가 복잡하고 비정형적인 구조를 가지고 있어, 새로운 조합론적·정보이론적 연구 대상이 될 가능성을 제시한다.