3차원 캡 바디의 조명 수는 6

초록

본 논문은 3차원 캡 바디(볼록 구와 외부 정점들을 연결한 형태)의 조명 수가 최대 6임을 증명한다. 기존에 중앙대칭 캡 바디에 대해 6이라는 상한이 알려졌으나, 비대칭 경우에도 동일한 결과가 성립한다. 조명 방향은 정사각뿔의 네 꼭짓점과 몸체에 따라 달라지는 두 추가 방향으로 선택할 수 있다. 증명은 확률적 회전, 구면 측도 계산, 그리고 정수선형계획법을 결합한 새로운 방법을 사용한다.

상세 분석

논문은 먼저 캡 바디의 정의를 명확히 한다. n차원 유닛볼 Bⁿ와 외부에 위치한 정점 집합 V를 합친 볼록껍질 K=conv(Bⁿ∪V)이며, 서로 다른 정점 사이의 선분이 모두 Bⁿ와 교차한다는 조건이 캡 바디의 핵심이다. 3차원에서는 각 정점 x_i에 대응하는 ‘기저 캡’ S_i가 구면 위에 중심 b_{x_i}=x_i/‖x_i‖와 반경 φ_i=arccos(1/‖x_i‖)인 구면 캡으로 나타난다. φ_i는 항상 π/2보다 작으며, 서로 다른 캡은 겹치지 않는다.

조명 문제는 방향 집합 {v_j}가 모든 캡 S_i를 ‘비어 있지 않은 내부’를 향하도록 하는 것과, 그 방향들의 양의 선형 결합이 전체 공간을 생성하는 두 조건으로 전환된다(정리 3). 따라서 각 캡 i에 대해 v_j가 C(−b_{x_i},π/2−φ_i) 안에 있으면 그 캡은 조명된다.

주요 아이디어는 정사면체의 네 꼭짓점 L을 단위구에 배치하고, 임의의 회전 R을 적용한 L’을 사용해 대부분의 캡을 동시에 조명하는 것이다. 구면 측도 σ를 이용해 C_θ:=⋃_{l∈L}C