제약조건을 동시에 다루는 페널티‑내부점 MADS 알고리즘

초록

MADS‑PIP는 비스무스 블랙박스 최적화에서 부등식·등식 제약을 동시에 처리하기 위해, 부등식 제약을 내부 로그 배리어와 외부 2차 페널티로 구분하고, 등식은 외부 페널티로 다루는 새로운 페널티‑내부점 전략을 MADS에 통합한 방법이다. 제안된 메리트 함수와 매개변수 감소 규칙을 통해 수렴성을 보장하며, 실험에서 기존 MADS‑Progressive Barrier 대비 특히 등식 제약이 있는 문제에서 우수한 성능을 보였다.

상세 분석

본 논문은 비스무스(비연속·비미분) 목적함수와 일반적인 부등식·등식 제약을 가진 최적화 문제를 다루는 새로운 프레임워크 MADS‑PIP를 제안한다. 핵심 아이디어는 제약을 두 그룹으로 나누는 것이다. 첫 번째 그룹 (G_{\text{int}}) 은 초기점에서 이미 만족하고, 로그 배리어를 적용해 내부 제약 위반을 부드럽게 억제한다. 로그 배리어는 (\log(-c_{\text{int}}(x))) 형태로 정의되며, 여기서 (c_{\text{int}}(x)) 는 (G_{\text{int}}) 의 최소값을 1과 비교해 만든 스케일링된 위반 측정치이다. 이때 (t=1) 을 고정함으로써 로그 항이 항상 비음수가 되도록 보장한다. 두 번째 그룹 (G_{\text{ext}}) 은 초기점에서 위반될 가능성이 있거나, 로그 배리어 적용이 어려운 경우에 해당한다. 이 그룹은 전형적인 2차 외부 페널티 (\sum_{\ell\in G_{\text{ext}}}\max{0,g_\ell(x)}^2+\sum_{j=1}^p h_j(x)^2) 로 처리한다. 등식 제약 (h_j(x)=0) 도 동일한 외부 페널티에 포함된다.

제안된 메리트 함수는
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