에르되시 불연속 급수의 새로운 무리성 기준과 수론 함수 적용

초록

본 논문은 에르되시의 기존 무리성 기준을 정밀히 개선하여, 피수트·살렘 수를 기반으로 한 새로운 불연속 멱급수의 무리성 판정 정리를 제시한다. 이를 통해 $d(n)^k$와 같은 약수 함수와 $\sigma(n),\varphi(n)$ 등 고전 수론 함수가 지수 형태로 나타나는 무한 급수들의 무리성을 일반화·확장한다.

상세 분석

논문은 먼저 에르되시와 스트라우스가 제시한 “희소한” 정수열 ${n_k}$에 대한 무리성·초월성 기준을 재검토한다. 기존 결과는 $\limsup_{k\to\infty}\frac{\log n_k}{\log k}= \infty$ 혹은 $\limsup_{k\to\infty}\frac{n_k}{k^\ell}= \infty$와 같은 성장 조건만을 사용했지만, 저자들은 이를 피수트(Pisot) 혹은 살렘(Salem) 대수적 실수 $q>1$의 대수적 성질을 도입함으로써 보다 미세한 제어가 가능함을 보인다. 핵심은 $q$의 모든 켤레복소근이 절댓값 $<1$(피수트) 혹은 $\le 1$(살렘)이라는 점을 이용해, 급수의 꼬리 부분 $R_c(q,x,z)$가 $q$의 차수 $d$와 연관된 다항식 성장률보다 빠르게 감소하도록 하는 것이다.

정리 1은 $a(n),b(n)$을 $ \mathbb{Q}(q)$의 대수정수열이라 가정하고, $x_n,y_n,z_n$이라는 세 개의 스케일링 파라미터와 $\eta\in(0,1]$를 도입해 네 가지 조건(i)–(v)를 만족하면 \