원형값 함수의 자유불연속 문제에 대한 감마 수렴 선형 성장 경우

초록

본 논문은 원형값 함수에 대한 Ambrosio‑Tortorelli 근사법을 선형 성장 에너지 형태로 확장하고, 함수 공간의 선택에 따라 두 가지 서로 다른 Γ‑극한을 도출한다. 큰 도메인에서는 지역적 자유불연속 에너지, 작은 도메인에서는 비국소적인 최소 상승 비용을 포함하는 형태가 나타난다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 이차 성장 경우와 달리 에너지 밀도 f 가 선형 성장하도록 가정한다. 이때 부피항 ψ(v)f(|∇u|)와 위상장 항 ε|∇v|²+W(v)/ε 사이에 실제적인 상호작용이 발생한다는 점이 핵심이다. 저자들은 두 가지 함수 공간을 고려한다. 첫 번째는 u∈W¹,¹(Ω;S¹), v∈W¹,²(Ω) 로 구성된 넓은 도메인 bD₁이며, 두 번째는 u∈W¹,²(Ω;S¹), v∈W¹,²(Ω) 로 제한된 좁은 도메인 D₁이다. 각각에 대해 ε→0⁺ 일 때 Γ‑수렴을 분석한다.

넓은 도메인에서는 Γ‑극한이 지역적 자유불연속 에너지 형태를 갖는다. 구체적으로는 ∫Ω f(|∇u|)dx, Cantor 부분 |Dᶜu|(Ω), 그리고 점프집합 Su 위에서 g(|u⁺−u⁻|)를 적분한 항이 등장한다. 여기서 g는 ψ와 W 로부터 정의된 절단 함수로, 선형 성장 상황에서 부피와 위상장 사이의 상호작용을 정확히 포착한다.

반면 좁은 도메인에서는 위상장의 제약 때문에 비국소적인 비용 m_g