투란 그래프와 지배 순서 격자 사이의 일대일 대응

초록

본 논문은 정수 합성의 지배 순서 격자에서 만나는 하부불가약원소와 (n , p )‑투란 그래프의 간선을 일대일로 연결하는 명시적 함수를 구성한다. 이를 이용해 해당 원소들의 평균 부분 수, 첫 번째 부분값, 약한 기록 수 등을 n 이 무한대로 갈 때의 1/n³ 차수까지 정확히 추정한다.

상세 분석

논문은 먼저 n 과 p 를 정수라 두고 n 을 p 로 나눈 나머지를 n mod p 로 표기한다. (n , p )‑투란 그래프는 정점 집합 {1,…,n } 에서 두 정점이 서로 다른 나머지를 가질 때만 연결되는 완전 p‑분할 그래프이며, 그 간선 수는 aₚ(n)=½·(1−1/p)·n²−(n mod p)·(p−(n mod p))/2p 로 알려져 있다.
다음으로 합성 Fₚ(n) 은 각 부분이 1 이상 p 이하인 순서쌍이며, 지배 순서는 앞쪽 부분들의 누적합을 비교한다. 이 순서는 격자를 이루고, 격자는 분배법칙을 만족한다. 격자에서 하부불가약원소( meet‑irreducible )는 정확히 하나의 상위 커버만을 갖는 원소이며, 이러한 원소들의 집합을 miₚ(n) 로 표기한다. 저자는 Lemma 2.1을 통해 한 합성의 상위 커버 개수를 연속된 부분 패턴(ab)와 마지막 1‑시퀀스로 계산한다. 이를 바탕으로 miₚ(n) 은 재귀식 miₚ(n)=miₚ(n−1)+|Aₚ(n)| 로 분해되며, Aₚ(n) 은 “p 로 이루어진 블록 뒤에 i(1≤i≤p−1) 와 1‑시퀀스가 붙은 형태”의 합성 집합이다. Lemma 2.3은 |Aₚ(n)|=⌊(1−1/p)·n⌋ 로 보여 주어 aₚ(n) 과 동일함을 확인한다.
이제 두 재귀 분해를 이용해 명시적 전단사 Ψₚⁿ : E(Tₚⁿ) → miₚ(n) 을 정의한다. 기본 단계에서 n−1 에 대한 전단사를 적용하고, 새 정점 n 과 연결된 간선 {a,n} (a≡n mod p) 에는 특별히 구성된 합성 (p,…,p, i,1,…,1) 를 매핑한다. 식 (2.3) 은 Ψₚⁿ(a,b)의 전형적인 형태를 제시한다. 역함수 Φₚⁿ 은 합성의 앞쪽 p‑블록 길이와 뒤쪽 1‑블록 길이를 읽어 간선 {a,b} 로 복원한다. Theorem 2.4 가 양방향 전단사를 확립한다.
동일한 방법으로 join‑irreducible 집합 jiₚ(n) 에 대한 전단사 ˜Ψₚⁿ 도 제시한다.
통계 분석에서는 Ψₚⁿ을 이용해 miₚ(n) 의 평균 통계량을 간단히 적분 형태로 변환한다. Lemma 3.1 은 a≡b (mod p) 인 쌍에 대한 합을 n³/6·(1−1/p) 와 n³/3·(1−1/p) 로 근사한다.

• 부분 수(parts) 의 평균은 (1+2/p)·n³ 로 얻는다.
• 첫 번째 부분(first) 의 평균은 p·(1−p·n⁻¹)+p(p+1)·n⁻²/3 로 전개된다.
• 약한 기록 수(wrec) 의 평균은 2·n³/p 로 추정된다.
  각 증명은 Ψₚⁿ( a,b ) 의 구조를 이용해 해당 통계량을 a와 b 의 함수로 바꾸고, 위의 합계 결과와 aₚ(n)≈½·(1−1/p)·n² 를 결합해 최종 식을 얻는다. 결과적으로 miₚ(n) 과 jiₚ(n) 의 원소 수가 투란 그래프의 간선 수와 정확히 일치함을 Birkhoff 표현 정리와 함께 확인한다.