차이 거리 매직 라벨링의 새로운 존재와 구성 방법

초록

본 논문은 차이 거리 매직 라벨링(DDM) 개념을 확장하여, 정점 수 n ≥ 5인 모든 연결 지향 그래프에 대해 DDM 라벨링이 가능한 그래프가 존재함을 증명한다. 불균형을 1에서 0으로 감소시키는 정점 추가 기법, 정점 결합(vertex coalescence) 및 가중 그래프 합(weighted graph sum)이라는 새로운 연산을 이용해 작은 DDM 그래프들을 조합해 무한히 큰 그래프를 만들 수 있음을 보인다. 또한 스큐(adjacency) 행렬과 라벨 벡터 사이의 선형대수 관계를 제시하여 라벨링 조건을 행렬식 형태로 해석한다.

상세 분석

본 연구는 차이 거리 매직 라벨링(DDM)이라는 특수한 그래프 라벨링 문제에 대해 두 가지 주요 관점을 제시한다. 첫 번째는 그래프 이론적 구성 방법이며, 두 번째는 선형대수적 도구를 통한 라벨링 조건의 해석이다.

1. 불균형(imbalance) 개념 도입

   • 정점 v의 불균형은 |N⁺(v)| − |N⁻(v)| 로 정의되며, 전체 그래프의 불균형은 모든 정점 불균형 절댓값의 최댓값인 imb(G) 로 측정한다.
   • 스큐 인접 행렬 S = Aᵀ − A (A는 방향 그래프의 인접 행렬) 를 사용하면, 각 정점의 불균형은 S·1 (1은 전부 1인 열벡터) 로 나타난다. 이는 Observation 3.5, 즉 모든 방향 그래프에서 ∑_v imb(v)=0 을 바로 얻는다.

2. 라벨링과 행렬식 관계

   • 라벨 벡터 x =