다중순열의 Euler‑Mahonian 통계에 대한 새로운 g‑gap ℓ‑레벨 정밀화

초록

본 논문은 다중순열에 대해 g‑gap ℓ‑레벨 Denert 통계와 g‑gap ℓ‑레벨 초과통계를 정의하고, 이들을 기존의 g‑gap ℓ‑레벨 하강·주요 지수와 쌍을 명시적 전단사로 연결한다. 이를 통해 (g excℓ, g den_h)와 (g desℓ, g majℓ) 쌍이 r‑Euler‑Mahonian( r=g+ℓ−1 )임을 증명하고, Han의 (des, maj)↔(exc, den) 등가성 및 Huang‑Lin‑Yan의 최근 추측을 새로운 증명으로 확립한다. 또한 k중복 다중집합 M={1^k,2^k,…,n^k}에 대해 동일한 결과를 일반화한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 순열 통계인 하강수(des), 주요 지수(maj), 초과수(exc), Denert 통계(den)의 다중순열 버전을 확장하는 데 초점을 맞춘다. Liu가 제시한 g‑gap ℓ‑레벨 하강수(g desℓ)와 주요 지수(g majℓ)는 기존의 r‑des, r‑maj와 일치하도록 일반화되었으며, 저자들은 이를 다중순열 S_M에 그대로 옮긴다. 새로운 정의인 g‑gap ℓ‑레벨 Denert 통계(g denℓ)와 g‑gap ℓ‑레벨 초과수(g excℓ)는 각각 초과 자리와 비초과 자리의 부분 순열을 이용해 “초과 자리의 인덱스 합 + 약한 역전 수 + 일반 역전 수” 형태로 구성된다. 이때 g와 ℓ은 양의 정수이며, h는 1≤h≤g+ℓ 범위에서 자유롭게 선택된다.

핵심 기법은 두 개의 전단사 Φ_den^{g,h}와 Φ_maj^{g,ℓ}를 명시적으로 구성하는 것이다. Φ_den^{g,h}는 다중순열 w와 파티션 λ를 (w,λ)↦Φ(w,λ) 형태로 매핑하면서 g den_h(Φ(w,λ)) = g den_h(w)+|λ| 를 만족한다. 또한 g excℓ(w)=s이면 Φ(w,λ)의 g excℓ 값이 t가 되도록 λ의 크기를 조정해 t−s=δ_ℓ+γ_g−1 조건을 만족한다. Φ_maj^{g,ℓ}도 유사하게 g majℓ 값을 파티션 크기와 연결한다. 이러한 전단사는 기존의 MacMahon‑type 등가성(역전수와 주요 지수의 동분포)을 다중순열에 그대로 적용하게 하며, g den_h와 inv, g majℓ와 inv 역시 동분포임을 귀납적으로 증명한다.

결과적으로, 모든 g,ℓ≥1 및 1≤h≤g+ℓ에 대해
∑{w∈S_M} t^{g desℓ(w)} q^{g majℓ(w)} = ∑{w∈S_M} t^{g excℓ(w)} q^{g den_h(w)}
가 성립한다. 이는 r=g+ℓ−1 로 정의되는 r‑Euler‑Mahonian 성질을 의미한다. 특수 경우 g=1,ℓ=1이면 기존의 (des,maj)↔(exc,den) 등가성을 복원하고, g=ℓ, h=ℓ이면 Liu가 제시한 (g excℓ, g den_h) 쌍의 등가성을 다중순열에 확대한다.

또한 저자들은 다중집합 M={1^k,…,n^k} (k≥1) 에 대해 동일한 전단사를 적용함으로써, k가 1이 아닌 경우에도 r‑Euler‑Mahonian 성질이 유지된다는 것을 보인다. 이는 Liu의 최근 결과를 순열에서 다중순열로 일반화한 최초의 사례이며, 기존 전단사(Liu, 2022)가 다중순열에 바로 적용되지 못하는 한계를 극복한다.

논문은 마지막에 전단사의 복잡도와 구현 가능성을 간략히 논의하고, g‑gap ℓ‑레벨 통계의 추가적인 q‑아날로그 및 히스토그램적 해석을 향후 연구 과제로 제시한다.