소량 질량에서의 특이 비선형 타원식 정규화 양의 해 존재성

초록

본 논문은 $0<r<1$, $2+\frac{4}{N}<p<2^{*}$인 경우에, 질량 $\rho>0$가 충분히 작을 때 Dirichlet 경계조건을 만족하는 특이 항 $u^{-r}$와 $L^{2}$‑초임계 항 $u^{p-1}$을 포함한 타원식 $-\Delta u+\lambda u=u^{-r}+u^{p-1}$의 정규화 해 $(\lambda,u)\in\mathbb{R}\times H_{0}^{1}(\Omega)$가 존재함을 변분적 정규화와 정규화된 함수열에 대한 균일 추정(특히 $L^{\infty}$ 경계)으로 증명한다.

상세 분석

본 연구는 두 가지 난관을 동시에 극복해야 하는 문제에 직면한다. 첫째, $u^{-r}$ 항은 $u\to0^{+}$에서 무한대로 발산하므로 에너지 함수가 $C^{1}$가 아니며, 프레셰(Fréchet) 미분이 정의되지 않는다. 둘째, 질량 제약 $\int_{\Omega}u^{2}= \rho$는 함수공간을 구면 $S_{\rho}$ 위로 제한하므로 전통적인山谷‑패스(minimax) 기법을 바로 적용하기 어렵다. 저자들은 $\varepsilon>0$에 대해 $J_{\varepsilon}(u)=\frac12|\nabla u|{2}^{2}-\frac1{1-r}\int{\Omega}(u+\varepsilon)^{1-r}-\frac1p\int_{\Omega}u^{p}$ 라는 정규화된 에너지 함수를 정의하고, $S_{\rho}$ 위의 폐집합 $K={u\in S_{\rho}:|\nabla u|{2}\le\tau}$를 선택한다. 여기서 $\tau$는 Lemma 2.1을 통해 $\rho$가 충분히 작을 때 $J{\varepsilon}>0$가 되는 구면 반경이다. $J_{\varepsilon}$는 $K$에서 하한이 음수임을 보이며( Lemma 2.3), 따라서 $c_{\varepsilon}=\inf_{K}J_{\varepsilon}<0$가 정의된다. 최소화 수열을 취해 강한 수렴을 확보하고, Lagrange 승수 이론을 적용해 정규화된 Euler‑Lagrange 방정식 \