확률적 마폭 모델에서 Hawkes 자기흥분 점프를 통한 멸종·지속성 분석

초록

본 논문은 인간‑쥐(rodent) 2계 compartment 모델에 확산 잡음과 Hawkes 자기흥분 점프를 결합한 확률 미분 방정식(SDE) 체계를 제시한다. 모델의 전역 존재·유일성·양성 해를 증명하고, 기본 재생산수 (R_{0}) 를 도출하여 (R_{0}<1) 일 때 거의 확실히 멸종한다는 조건을 제시한다. 또한 인간·쥐 감염에 대한 평균 지속성(in‑the‑mean) 조건을 명시해 지속성 임계값을 정의한다. 수치 실험을 통해 군집형 인간 전파 사건, 환경 변동성, 방역 조치가 (R_{0})와 지속성 임계값에 미치는 영향을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존의 확률적 전염병 모델에 비해 두 가지 중요한 확장성을 갖는다. 첫째, 인간 감염 구간에 Hawkes 점프 과정을 도입함으로써 군집형 전파 현상을 수학적으로 구현한다. Hawkes 과정은 한 번의 점프가 단시간 내에 추가 점프 발생 확률을 높이는 자기흥분(self‑exciting) 특성을 가지며, 이는 대규모 모임이나 밀집 환경에서 관찰되는 급격한 감염 급증을 재현한다. 기존 포아송 점프와 달리 조건부 강도 함수 (\lambda_t)가 과거 점프 시점에 의존하므로 비마코프적 메모리 효과를 모델에 포함한다.

둘째, 인간‑쥐 2계 compartment 구조를 채택해 동물‑인간(zoonotic) 전파 경로를 동시에 고려한다. 인간 집단은 S‑I‑Q‑R 네 구간, 쥐 집단은 S‑I 두 구간으로 나뉘며, 각각의 전이율은 확산 잡음(다중 브라운 운동)과 점프 항(각각의 Hawkes 과정)으로 교란된다. 특히 인간 감염 구간 (I_h)와 감염자 격리 구간 (Q_h)에 각각 다른 Hawkes 점프가 적용돼, 감염 확산과 격리·치료 과정에서 발생할 수 있는 급격한 변동을 별도로 모델링한다.

수학적 분석에서는 다음과 같은 핵심 결과를 얻는다. (1) 전역 존재·유일성·양성: Lyapunov 함수와 Itô‑Lévy 공식, 그리고 점프 보상된 Hawkes 과정의 보상성(compensated) 특성을 이용해 해가 (\mathbb{R}_+^6) 내에서 전역적으로 존재하고, 초기값에 대해 유일함을 증명한다. (2) 기본 재생산수 (R_0): 선형화와 평균장(Mean‑field) 접근을 통해 인간·쥐 양쪽 전파 경로를 모두 포함하는 (R_0) 를 도출한다. (R_0)는 인간‑쥐 접촉률 (\eta_1), 인간‑인간 접촉률 (\eta_2), 그리고 쥐‑쥐 전파율 (\eta_3)와 자연·질병 사망률, 회복·격리율 등 모델 파라미터들의 복합 함수이다. (3) 멸종 조건: (R_0<1)이면 거의 확실히 모든 감염 구간이 0으로 수렴한다는 a.s. (almost sure) 멸종 정리를 증명한다. 이는 확률적 시스템에서 deterministic 모델과 동일한 임계값 역할을 함을 보여준다. (4) 평균 지속성(in‑the‑mean) 조건: 인간 감염 (I_h)와 쥐 감염 (I_r)에 대해 각각 (\mathbb{E}