불완전 쌍대비교 행렬의 불일치 임계값, 그래프 구조와 스펙트럴 반경에 따라 새롭게 정의

초록

본 논문은 불완전 쌍대비교 행렬의 불일치 지표에 대한 허용 임계값을 기존의 ‘10 % 규칙’에서 확장한다. 행렬의 크기와 결손 개수뿐 아니라 알려진 비교를 나타내는 무방향 그래프의 구조, 특히 그래프의 스펙트럴 반경이 임계값에 결정적인 영향을 미친다는 것을 실증한다. 이를 통해 동일한 그래프 형태를 갖는 다수의 행렬에 대해 정확한 임계값을 제공하고, 실시간 불일치 모니터링 및 오류 탐지에 활용할 수 있다.

상세 분석

본 연구는 AHP에서 널리 사용되는 불일치 지표(CI)와 그 기준값(RI)의 정의를 불완전 행렬에 적용할 때, 기존 연구(‘Agoston & Csató, 2022’)가 제시한 “대안 수 n과 결손 수 m만을 고려한 임계값”이 그래프 구조를 무시한다는 한계를 지적한다. 저자들은 먼저 불완전 행렬을 그래프 G = (V,E)로 모델링한다. V는 대안을, E는 알려진 비교를 의미하며, 결손 비교는 그래프에서 제거된 간선에 해당한다. 이때 그래프의 인접 행렬 B의 최대 고유값, 즉 스펙트럴 반경 ρ(G)​가 행렬의 평균 불일치(RI)에 강하게 상관함을 발견한다.

방법론은 다음과 같다. (1) 고정된 그래프 G (연결 그래프)와 대안 수 n, 결손 수 m을 선택한다. (2) 알려진 비교에 대해 Saaty 스케일(1/9 ~ 9)의 17가지 값 중 균등하게 1 × 10⁶개의 무작위 행렬을 생성한다. (3) 각 행렬에 대해 결손 항목을 변수 x (구간