주식시장 내재 기하학을 그래프 리치 흐름으로 탐구

초록

본 논문은 NASDAQ‑100 지수의 실시간 상관관계 그래프에 이산 Ollivier‑Ricci 곡률과 Ricci 흐름을 적용하여, 그래프 내부에서 발생하는 neck‑pinch 특이점을 수술(surgery) 기법으로 제거하고, 이를 통해 숨겨진 계층 구조와 클러스터를 자동으로 탐지하는 방법을 제시한다. 완전 연결 그래프의 곡률 하한을 기준으로 특이점 식별 및 엣지 재가중치를 수행함으로써, 기존 MST·PCA 기반 방법보다 연결성을 유지한 채 시장 구조를 해석한다.

상세 분석

이 연구는 금융 시장을 고차원 복합 시스템으로 보고, 주식 간 상관관계 행렬 Cij 로부터 거리 wij =√(2(1−Cij)) 를 정의해 완전 연결 가중 그래프를 구성한다. 기존 방법은 MST 등으로 그래프를 희소화하지만, 이는 토폴로지를 인위적으로 변형시켜 중요한 정보 손실을 초래한다. 저자들은 최근 그래프 이론에서 도입된 Ollivier‑Ricci 곡률(ORC)을 활용한다. ORC는 각 정점에 lazy random walk(α=½) 확률분포 mi 를 부여하고, Wasserstein 거리 W(mi,mj) 와 최단 거리 dij 를 비교해 κij =1−W(mi,mj)/dij 로 정의한다. 같은 커뮤니티에 속한 정점은 이웃을 많이 공유하므로 W가 작아 κij 가 양수가 되고, 서로 다른 커뮤니티는 κij 가 음수가 된다.

곡률을 기반으로 한 Ricci 흐름은 dwij/dt =−κij·wij 로 연속형을 이산화해, 매 반복마다 모든 엣지 가중치를 κij 에 비례해 감소·증가시킨다. 양의 곡률 엣지는 더 짧아지고, 음의 곡률 엣지는 멀어지면서 그래프는 자연스럽게 커뮤니티 간 ‘목(neck)’을 형성한다. 이러한 neck‑pinch 특이점은 리치 흐름의 고전적인 수술 개념을 차용해, 곡률이 0에 근접한 엣지를 절단하고 두 서브그래프를 연결합(connected sum) 형태로 분리한다.

핵심 기법은 (1) 완전 연결 그래프의 균등 가중치 경우에 대한 곡률 하한 κmin =2/(n−1)−1 을 이용해 초기 곡률 분포를 파악하고, (2) 실제 NASDAQ‑100 데이터(2020‑2024 5년)로부터 얻은 비균등 wij 로 Ricci 흐름을 20회 이상 수행한다. 흐름 초기에는 가중치 히스토그램이 좁게 집중되지만, 5~10회 반복 후 두 개의 뚜렷한 피크가 나타나며, 20회 이후에는 곡률이 0에 가까운 엣지가 명확히 구분된다. 저자들은 이 엣지를 기준으로 수술을 수행해 66개와 35개 종목으로 구성된 두 클러스터를 도출했으며, 첫 번째 클러스터가 기술주 중심임을 확인한다.

이 방법의 장점은 (가) 전체 연결성을 유지하면서도 내재 기하학적 정보를 활용해 자동 클러스터링이 가능하고, (나) 곡률 하한을 이론적 기준으로 삼아 수술 시점과 대상 엣지를 객관적으로 결정한다는 점이다. 한편, 곡률 계산에 필요한 Wasserstein 거리와 랜덤 워크 확률분포의 복잡도, 그리고 이산 흐름의 수렴성 분석이 추가 연구 과제로 남는다.