자산 거품과 겹겹 세대 모델에 대한 티롤 명제 1(c)의 재검토

초록

티롤(1985)의 명제 1(c)는 배당 성장률이 무버블 이자율보다 크고 인구 성장률보다 작을 때 거품 없는 균형이 존재하지 않고 유일한 거품 균형이 존재한다는 주장이다. 본 논문은 해당 가정들을 모두 만족하면서도 유일한 균형이 거품 없이 자본이 0으로 수렴하는 사례를 제시해 명제를 반박한다. 추가적으로 초기 자본이 충분히 크고 배당이 충분히 작을 경우에만 명제가 성립함을 정리하고, 이를 뒷받침하는 예시들을 제공한다.

상세 분석

본 논문은 티롤(1985)의 겹겹 세대(OLG) 모델에 대한 핵심 명제인 1(c)를 면밀히 검토한다. 티롤은 배당 성장률 G_d가 무버블 이자율 R보다 크고 인구 성장률 G보다 작을 때, 거품 없는 균형이 존재하지 않으며 오직 거품이 포함된 균형만이 존재한다는 결론을 제시했지만, 이 논문은 그 전제가 충분히 강력하지 않음을 보인다. 먼저, 저자는 생산함수 f(k)=A·ϕ(k) 형태를 선택한다. 여기서 ϕ(k)=k·log(1+1/k)이며, ϕ′(0)=∞, ϕ′′<0, 그리고 ϕ(k)−kϕ′(k)=k/(1+k) 로 근처 0에서 거의 선형적인 임금 함수를 만든다. 이러한 구조는 초기 자본 k₀가 충분히 작을 경우, 임금이 매우 낮아져 젊은 세대가 자산을 충분히 구매하지 못하고, 결과적으로 저축이 자본 축적보다 작아져 k_t가 점차 0으로 수렴한다. 논문은 Lemma 3.1을 통해 배당이 일정 비율 G_d로 성장하면(k_t가 작을 때) 자본이 0으로 수렴하는 “자원 저주” 현상이 발생함을 증명한다. 이때 자산 가격 P_t는 기본가치 V_t와 일치하므로 거품이 전혀 존재하지 않는다. 즉, R<G_d<G 조건을 만족하면서도 거품 없는 균형이 존재한다는 반증 사례가 된다.

그 다음 저자는 명제를 복원하기 위한 추가 가정을 제시한다. 첫째, 초기 자본 k₀가 충분히 크면(κ보다 크면) 자본이 양의 고정점 k에 수렴하고, 이때 f′(k)<G_d이므로 무버블 이자율보다 낮은 이자율이 유지된다. 둘째, 배당 규모 D가 충분히 작아야 자본 축적이 과도하게 억제되지 않는다. 이러한 두 조건을 만족하면 Lemma 2.3에 의해 고정점에서의 이자율이 G를 초과하게 되고, 이 경우는 유일하고 거품 없는 균형만이 존재한다는 티롤의 명제가 성립한다. 논문은 Example 2와 Example 3을 통해 초기 자본이 크거나 배당이 작을 때와, 반대로 배당이 크게 설정될 때 각각 다른 경로(양의 고정점 수렴 vs. 0으로 수렴)로 전이함을 시뮬레이션으로 보여준다. 이를 통해 초기 조건과 배당 규모가 명제의 타당성에 결정적 역할을 함을 강조한다.

또한, 논문은 기존 문헌이 티롤의 명제를 주로 “순수 거품”(배당이 0인 자산) 상황에만 인용해 왔으며, 배당이 있는 자산에 대한 명제는 거의 검토되지 않았음을 지적한다. 따라서 이 논문의 기여는 (1) 티롤 명제 1(c)의 가정이 충분히 강력하지 않음을 반증하고, (2) 필요한 추가 가정을 명확히 제시함으로써 모델의 내재적 한계를 보완한 점에 있다. 이러한 결과는 OLG 모델에서 거품의 존재 여부를 판단할 때 초기 자본과 배당 정책을 신중히 고려해야 함을 시사한다.