바라케의 증식 시리즈: 퍼뮤테이션과 군론으로 보는 새로운 직렬 기법

초록

바라케가 제안한 증식 시리즈는 두 기본 12음열 사이의 변환 퍼뮤테이션을 반복 적용해 새로운 시리즈를 생성한다. 전통적 직렬주의가 음정 간격을 고정시키는 반면, 증식 시리즈는 변환 순서 자체를 불변량으로 삼아 훨씬 다양한 음정 구조를 만든다. 논문은 퍼뮤테이션의 순서(주기)를 사이클 분해와 최소공배수로 계산하고, 전통적 변환(P, R, I, RI)과 결합했을 때 가능한 순환 구조와 최대 증식 개수를 체계적으로 규명한다. 또한 모듈러 n을 이용한 마이크로톤 확장과 파라미터 직렬화까지 논의한다.

상세 분석

이 논문은 바레크의 증식 시리즈를 수학적 관점에서 정밀히 해석한다. 핵심은 두 12음열 사이에 존재하는 퍼뮤테이션 π를 정의하고, 이를 연속적으로 적용함으로써 생성되는 시리즈들의 집합을 군 S₁₂의 원소가 생성하는 순환군으로 보는 것이다. π의 순서는 π를 몇 번 적용했을 때 원래 시리즈로 복귀하는지를 나타내며, 이는 π를 불연속 사이클들의 곱으로 표현한 뒤 각 사이클 길이의 최소공배수(lcm)로 계산한다. 예시에서는 길이 4와 8인 두 사이클이 결합된 구조