아페리와 유사 급수의 t‑조화 별합 평가

초록

본 논문은 짝수 차수의 다중 t‑조화 별합을 포함하는 새로운 아페리‑유사 급수를 삼각함수 전개와 역탄젠트 적분, 이항계수 재귀를 이용해 닫힌 형태로 평가한다. 결과는 디리클레 베타값들의 교대 합으로 표현되며, 여러 구체적인 사례가 코롤라리로 제시된다.

상세 분석

논문은 먼저 깊이 j와 무게 2j를 갖는 다중 t‑조화 별합 (t^{\star}_n({2}^j)) 를 정의하고, 이를 짝수 차수의 “odd harmonic numbers” (O(m)n=\sum{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)^m}) 와 그 교대 버전으로 전개한다. Lemma 1에서는 (\int_0^{\pi/2}x^{2m}\cos((2n-1)x),dx) 와 (\int_0^{\pi/2}x^{2m}\sin(2kx)\sin x,dx) 를 이항계수와 (O(2j+1)k) 로 나타내는 두 가지 적분 공식이 증명된다. Lemma 2는 (\tan x\ln\sin x) 의 푸리에 전개와 역탄젠트 적분 (Ti_m(x)=\sum{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)^m}) 사이의 관계를 이용해, (\int_0^{\pi/2}x^{2m}\ln\sin x\cos x,dx) 를 베타값들의 이중합으로 변환한다. Lemma 3은 앞선 결과를 결합하여 (\int_0^{\pi/2}x^{2m}\cos^{2n-1}x,dx) 를 (\frac{(2m)!}{4^n}\binom{2n}{n}) 와 (t^{\star}_n({2}^j)) 의 선형 결합 형태로 표현한다.

주요 정리(Theorem 1)는 위 적분식들을 이용해 \