다변량 에르미트 다항식의 일반 곱셈 정리

초록

본 논문은 잘 알려진 일변량 에르미트 다항식의 곱셈 정리를 다변량으로 확장한다. 공분산 행렬 Σ와 Υ, 변환 행렬 Λ를 도입해
(H_{\mathbf k}(\Lambda^{!T}x;\Sigma)) 를
(H_{\mathbf q}(x;\Upsilon)) 의 선형 결합으로 표현하는 일반식(식 2)을 제시하고, 계수는 Kronecker 곱과 벡터화 연산으로 명시한다. 또한 특수 경우(동일 스케일, 확률·물리학자 버전, 내적 형태) 를 통해 기존 일변량 결과를 복원한다.

상세 분석

이 논문은 다변량 정규분포의 확률론적·물리학적 에르미트 다항식 (H_{\mathbf k}(x;\Sigma)) 를 정의하고, 그 생성함수
(\displaystyle \sum_{\mathbf k}\frac{t^{\mathbf k}}{\mathbf k!}H_{\mathbf k}(x;\Sigma)=\exp!\big(t^{!T}\Sigma^{-1}x-\tfrac12t^{!T}\Sigma^{-1}t\big))
을 출발점으로 삼는다. 기존 일변량 곱셈 정리 (H_k(\lambda x)=\sum_{i=0}^{\lfloor k/2\rfloor}\frac{k!}{(k-2i)!i!},(\lambda^2-1)^i\lambda^{k-2i}H_{k-2i}(x)) 를 다변량으로 일반화하기 위해, 두 개의 양정(positive‑definite) 공분산 행렬 (\Sigma\in\mathbb R^{n\times n},\Upsilon\in\mathbb R^{m\times m}) 와 선형 변환 행렬 (\Lambda\in\mathbb R^{n\times m}) 를 도입한다. 핵심은 변수 치환 (\tilde t=\Upsilon\Lambda\Sigma^{-1}t) 를 이용해 생성함수를 두 단계로 분해하고, Kronecker 곱 (A^{\otimes k}) 와 열벡터화 (\operatorname{vec}(A)) 를 활용해 계수를 명시적으로 계산한다.

결과식 (2)은
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