아르노 복합수의 루카스 붕괴 현상 분석

초록

본 연구는 약 350비트 크기의 아르노(Arnault) 방식으로 만든 200개의 합성수를 대상으로, Miller‑Rabin 테스트(베이스 11)에서는 통과하지만 강한 루카스 테스트에서는 모두 실패한다는 사실을 확인하였다. 새로운 지표인 U‑비트 붕괴 δ (δ = log₂ n − log₂ (U_d mod n))를 도입해 루카스 시퀀스 값이 기대되는 균등분포에서 얼마나 벗어나는지를 정량화했으며, 평균 δ ≈ 1.6 비트, 최대 δ = 8 비트에 불과했다. 이는 Miller‑Rabin 저항성과 루카스 저항성이 거의 독립적임을 실증적으로 보여주며, Baillie‑PSW 테스트의 견고성을 다시 한 번 확인시킨다.

상세 분석

본 논문은 두 가지 주요 질문에 초점을 맞춘다. 첫째, Arnault 프레임워크를 이용해 Miller‑Rabin 베이스 11까지 통과하도록 설계된 합성수가 강한 루카스 테스트에서도 어느 정도의 저항성을 보이는가? 둘째, 이러한 저항성을 정량화할 수 있는 지표를 어떻게 정의하고, 실제 데이터에 적용했을 때 어떤 통계적 특성이 나타나는가?

연구자는 먼저 Arnault 방식으로 p₁·p₂·p₃ 형태의 350비트 규모 합성수를 생성한다. 이때 각 소수 p_i는 p_i − 1이 큰 공통 인수 f를 공유하도록 선택되며, 추가적인 작은 인수도 포함한다. 이러한 구조는 Miller‑Rabin 테스트의 ‘베이스 d | p_i − 1’ 조건을 만족시켜 베이스 2부터 11까지 모두 통과하도록 만든다. 고속 생성 파이프라인을 이용해 분당 약 7,700개의 Carmichael 수를 생산하고, 그 중 약 0.015 %가 베이스 11까지 통과하는 20개의 합성수만을 추출한다.

강한 루카스 테스트에서는 n + 1 = d·2^s (d는 홀수) 형태로 표현된 n에 대해 U_d와 V_{d·2^r} 값을 계산한다. 여기서 U_d ≡ 0 (mod n) 혹은 V_{d·2^r} ≡ 0 (mod n) 중 하나라도 만족하면 강한 루카스 소수라 판단한다. 논문은 실제로 모든 200개의 샘플이 이 조건을 만족하지 못했으며, 즉 강한 루카스 가짜 소수는 발견되지 않았다.

U‑비트 붕괴 지표 δ는 log₂ n에서 실제로 관측된 U_d의 비트 길이 log₂ (U_d mod n)를 뺀 값으로 정의된다. δ가 클수록 U_d가 기대보다 크게 축소되어 루카스 시퀀스가 ‘특정 패턴’에 수렴한다는 의미이다. 연구 결과는 평균 δ = 1.61 비트, 중앙값 δ = 1.0 비트, 표준편차 1.70 비트이며, 최대 δ = 8 비트에 불과했다. 특히 52개의 샘플(26 %)은 δ = 0, 즉 전혀 붕괴가 관측되지 않았다. 이는 U_d가 거의 완전한 균등분포를 유지한다는 강력한 증거이다.

또한 저자는 잔여 클래스(모듈 35)와 Arnault 파라미터(k, M) 사이의 상관관계를 조사했다. 잔여 클래스는 (2, 18, 8), (18, 8, 23) 등 15가지 패턴이 전체의 40 %를 차지할 정도로 다양했으며, 특정 패턴이 지배적이지 않았다. k와 δ, M과 δ, 비트 크기와 δ 사이의 피어슨 상관계수는 각각 –0.088, –0.013, –0.039로 거의 0에 가까워 두 테스트가 서로 독립적임을 통계적으로 뒷받침한다.

결론적으로, Miller‑Rabin 저항성을 목표로 한 Arnault 구조는 루카스 시퀀스의 특수한 축소를 전혀 유도하지 못한다는 것이 실험적으로 확인되었다. 이는 Baillie‑PSW 테스트가 두 구성 요소(베이스 MR과 강한 루카스)를 서로 정교하게 보완하는 설계임을 다시 한 번 입증한다. 향후 연구에서는 Arnault 외의 다른 구조적 접근법이 루카스 붕괴를 유도할 수 있는지, 혹은 이론적으로 δ의 상한이 존재하는지 등을 탐구할 필요가 있다.