점성 비뉴턴 유체의 압축성 Korteweg 시스템에 대한 소산 해 존재와 약‑강 일치성

초록

본 논문은 주기적 영역 𝕋ᵈ(d=2,3)에서 캡illar리 효과를 포함한 압축성 비뉴턴 유체의 Korteweg‑Navier‑Stokes 시스템에 대해, 밀도 의존 점성 텐서와 비선형 점성률을 가정한 뒤, 상대 엔트로피 기법을 이용해 전역 소산 해(dissipative solution)의 존재와 약‑강 일치성(weak‑strong uniqueness)을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 압축성 비뉴턴 흐름을 기술하는 기본 방정식(연속식과 운동량식)에 Korteweg 항 κ div(ρ ∇² ln ρ)를 추가한다. 여기서 점성 텐서 S는 일반적인 p‑Laplacian 형태 S(Du)=|Du|^{p‑2}Du 또는 S(Du)=δDu+|Du| 와 같이 비선형이며, (1.4)–(1.5)에서 제시된 성장·단조성 조건을 만족한다. 압력 p(ρ) 는 γ‑법칙을 일반화한 형태이며, 양의 미분 p′(ρ)>0 과 상한·하한을 갖는다.

핵심 기법은 상대 엔트로피 함수 E(t)=½∫ρ|u‑v|²+κρ|∇lnρ‑∇ln r|² dx+∫H(ρ|r)dx 을 정의하고, (ρ,u)가 약해(weak) 해일 때 이 함수가 시간에 대해 감소한다는 부등식(2.2)을 도출한다. 이후 부드러운 테스트 쌍 (r,v) 에 대해 복잡한 연산을 전개해, Proposition 2.2에서 얻은 상대 엔트로피 불평등을 얻는다. 이 불평등은 S 의 단조성에 의해 −ρ(S(Du)−S(Dv)):(Du‑Dv) 항이 비양성임을 이용해, 에너지 손실을 정확히 제어한다.

다음 단계에서는 Galerkin 근사와 인공적인 고차 점성항 ε|Du|^{q‑2}Du (q>p) 을 도입해 정규화된 시스템의 전역 약해 해 존재를 확보한다. 이 과정에서 밀도에 대한 √ρ∈L^∞(0,T;H¹) 와 ∇lnρ∈L²(0,T;L²) 추정이 핵심이며, 이는 Korteweg 항이 제공하는 추가 정규화 효과 덕분에 가능해진다.

정규화 파라미터 ε, δ 를 차례로 0으로 보내면서, 앞서 얻은 상대 엔트로피 부등식과 Aubin‑Lions 보조정리를 이용해 수렴성을 확보한다. 한계 과정에서 비뉴턴 점성 텐서의 단조성 및 성장 조건이 강하게 사용되어, 비선형 항이 약한 수렴에서도 손실 없이 통과한다. 최종적으로 정의 2.4에 따라 “소산 해”가 존재함을 증명하고, 동일한 초기 데이터에 대해 충분히 정규한 강해(strong solution)가 존재하면 소산 해와 일치한다는 약‑강 일치성 정리를 얻는다.

이 결과는 기존 연구가 주로 밀도에 의존하지 않는 뉴턴 점성(또는 선형 μ(ρ)Du) 혹은 1차원 비뉴턴 경우에 국한됐던 점을 확장한다. 특히, 캡illar리 효과가 존재할 때 비뉴턴 점성 텐서와 밀도 의존 점성 모두를 포함한 다차원 시스템에서도 전역적인 해 존재와 안정성을 확보할 수 있음을 최초로 보여준다.