2차원 임계 분기 랜덤워크의 빈 구와 초브라운 운동 연결

초록

본 논문은 2차원 임계 분기 랜덤워크에서 원점을 중심으로 한 가장 큰 빈 구의 반경 (R_n)을 연구한다. (R_n/\sqrt{n})이 비자명한 확률분포로 수렴한다는 Révész의 예측을 증명하고, 그 극한분포를 2차원 초브라운 운동의 영점 확률로 정확히 표현한다. 또한, 무한분산 오프스프링 경우에 대한 세 가지 상전이 현상을 제시하고, 최대 변위에 관한 기존 결과(Lalley‑Shao)를 약화시킨 새로운 정리를 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 임계(branching mean (m=1))이며, 초기 입자가 레벤스 측도 ( \text{PRM}(\lambda) ) 로 주어지는 d‑차원 분기 랜덤워크 ( {Z_n}_{n\ge0} ) 를 정의한다. 입자들은 독립적으로 오프스프링 분포 ( {p_k} )와 평균 0, 공분산 행렬 (C) 를 갖는 이동 (X) 로 자손을 생성한다. 핵심 관심 대상은 (R_n=\sup{u>0:Z_n(B(u))=0}) 로, 이는 시간 (n) 에서 원점으로부터 가장 가까운 입자까지의 거리와 동일하다.

첫 번째 주요 결과(Theorem 1.1)는 차원 (d=2) 와 유한한 오프스프링 분산 ( \sigma^2<\infty ) 를 가정할 때, \