살인과 재난을 통한 출생·소멸 과정의 흡수와 평형 연결 고리

초록

본 논문은 살인(killing) 메커니즘을 가진 출생·소멸 과정의 흡수 확률과, 재난(catastrophe) 메커니즘을 가진 유사 과정의 평형 꼬리 확률 사이에 정확한 수식적 관계를 제시한다. 핵심 도구는 과정 분해, 마코프 체인의 Feynman‑Kac 관계, 그리고 Siegmund 이중성이다. 이를 인구유전학의 두 조상 그래프, 즉 killed ancestral selection graph와 pruned look‑down ASG에 적용하여 Moran 모델과 Wright‑Fisher 확산의 유한·무한 개체수 경우를 동시에 다룬다.

상세 분석

논문은 먼저 연속시간 출생·소멸 과정(birth‑death process)을 두 가지 변형으로 정의한다. 첫 번째는 “살인(birth‑death with killing, bdk)”으로, 각 상태 i에서 일정 비율 κ로 즉시 전체 인구가 소멸되는 흡수 상태 Δ로 전이한다. 두 번째는 “재난(birth‑death with catastrophes, bdc)”으로, 상태 i에서 다른 상태 j(i‑2 이하)로 한 번에 점프하는 재난 전이가 존재하지만, 즉시 전체 소멸은 일어나지 않는다. 두 과정은 동일한 출생률 λ_i와 사망률 μ_i, 그리고 상수 κ를 공유하도록 파라미터화된다(Definition 1.1).

주요 결과는 Theorem 1.2이며, 이는 (i) bdc 과정 Z가 평형분포를 갖고, 그 꼬리 확률 a_i와 bdk 과정 X의 흡수 확률 b_i 사이에
\